Theorem luklem6 666

Description: Lemma for rederiving standard propositional axioms from Lukasiewicz'.

Assertion

Ref	Expression
luklem6	⊢ ((φ → (φ → ψ)) → (φ → ψ))

Proof of Theorem luklem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		luk-1 658	. 2 ⊢ ((φ → (φ → ψ)) → (((φ → ψ) → ψ) → (φ → ψ)))
2		luklem5 665	. . . . . 6 ⊢ (¬ (φ → ψ) → (¬ ψ → ¬ (φ → ψ)))
3		luklem2 662	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ψ → ¬ (φ → ψ)) → (((¬ ψ → ψ) → ψ) → ((φ → ψ) → ψ)))
4		luklem4 664	. . . . . . 7 ⊢ ((((¬ ψ → ψ) → ψ) → ((φ → ψ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ψ))
5	3, 4	luklem1 661	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ψ → ¬ (φ → ψ)) → ((φ → ψ) → ψ))
6	2, 5	luklem1 661	. . . . 5 ⊢ (¬ (φ → ψ) → ((φ → ψ) → ψ))
7		luk-1 658	. . . . 5 ⊢ ((¬ (φ → ψ) → ((φ → ψ) → ψ)) → ((((φ → ψ) → ψ) → (φ → ψ)) → (¬ (φ → ψ) → (φ → ψ))))
8	6, 7	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ ((((φ → ψ) → ψ) → (φ → ψ)) → (¬ (φ → ψ) → (φ → ψ)))
9		luk-1 658	. . . 4 ⊢ (((((φ → ψ) → ψ) → (φ → ψ)) → (¬ (φ → ψ) → (φ → ψ))) → (((¬ (φ → ψ) → (φ → ψ)) → (φ → ψ)) → ((((φ → ψ) → ψ) → (φ → ψ)) → (φ → ψ))))
10	8, 9	ax-mp 6	. . 3 ⊢ (((¬ (φ → ψ) → (φ → ψ)) → (φ → ψ)) → ((((φ → ψ) → ψ) → (φ → ψ)) → (φ → ψ)))
11		luklem4 664	. . 3 ⊢ ((((¬ (φ → ψ) → (φ → ψ)) → (φ → ψ)) → ((((φ → ψ) → ψ) → (φ → ψ)) → (φ → ψ))) → ((((φ → ψ) → ψ) → (φ → ψ)) → (φ → ψ)))
12	10, 11	ax-mp 6	. 2 ⊢ ((((φ → ψ) → ψ) → (φ → ψ)) → (φ → ψ))
13	1, 12	luklem1 661	1 ⊢ ((φ → (φ → ψ)) → (φ → ψ))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2

This theorem is referenced by:  luklem7 667  ax2 670

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6

metamath.org