Theorem m1r 3985

Description: The constant -1_R is a signed real.

Assertion

Ref	Expression
m1r	⊢ -1R ∈ R

Proof of Theorem m1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 3911	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 3914	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 520	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		opelxpi 2455	. . . 4 ⊢ ((1P ∈ P ∧ (1P +P 1P) ∈ P) → ⟨1P, (1P +P 1P)⟩ ∈ (P × P))
5	1, 3, 4	mp2an 520	. . 3 ⊢ ⟨1P, (1P +P 1P)⟩ ∈ (P × P)
6		enrex 3972	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
7	6	ecelqsi 3229	. . 3 ⊢ (⟨1P, (1P +P 1P)⟩ ∈ (P × P) → [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
8	5, 7	ax-mp 6	. 2 ⊢ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
9		df-m1r 3967	. . 3 ⊢ -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
10		df-nr 3961	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
11	9, 10	eleq12i 1154	. 2 ⊢ (-1R ∈ R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
12	8, 11	mpbir 165	1 ⊢ -1R ∈ R

Syntax hints:   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   × cxp 2408  (class class class)co 3001  [cec 3198   / cqs 3199  Pcnp 3779  1_Pc1p 3780   +_P cpp 3781   ~_R cer 3786  Rcnr 3787  -1_Rcm1r 3790

This theorem is referenced by:  pn0sr 4004  negexsr 4005  sqgt0sr 4009  supsrlem1 4019  supsrlem2 4020  supsrlem3 4021  supsrlem5 4023  mulresr 4051  axmulcl 4068  axmulass 4073  axdistr 4074  ax1id 4077  axrecex 4079  axi2m1 4082  axcnre 4087

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-enr 3960  df-nr 3961  df-m1r 3967

metamath.org