Theorem mapdom2lem 3388

Description: Lemma for mapdom2 3389.

Hypotheses

Ref	Expression
mapdom1.1	⊢ A ∈ V
mapdom1.2	⊢ B ∈ V
mapdom1.3	⊢ C ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mapdom2lem	⊢ (x ∈ (C ↑m z) → (x ∩ ((B ∖ z) × {w})) = ∅)

Distinct variable group(s):   x,z,w,A   x,B,z,w   x,C,z,w

Proof of Theorem mapdom2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdom1.3	. . . . . . . 8 ⊢ C ∈ V
2		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ z ∈ V
3	1, 2	elmap 3265	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ (C ↑m z) ↔ x:z–→C)
4	3	biimp 133	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ (C ↑m z) → x:z–→C)
5		fdm 2756	. . . . . 6 ⊢ (x:z–→C → dom x = z)
6	4, 5	syl 12	. . . . 5 ⊢ (x ∈ (C ↑m z) → dom x = z)
7		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ w ∈ V
8	7	fconst 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∖ z) × {w}):(B ∖ z)–→{w}
9		fdm 2756	. . . . . . 7 ⊢ (((B ∖ z) × {w}):(B ∖ z)–→{w} → dom ((B ∖ z) × {w}) = (B ∖ z))
10	8, 9	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ dom ((B ∖ z) × {w}) = (B ∖ z)
11	10	a1i 7	. . . . 5 ⊢ (x ∈ (C ↑m z) → dom ((B ∖ z) × {w}) = (B ∖ z))
12	6, 11	ineq12d 1646	. . . 4 ⊢ (x ∈ (C ↑m z) → (dom x ∩ dom ((B ∖ z) × {w})) = (z ∩ (B ∖ z)))
13		difdisj 1758	. . . 4 ⊢ (z ∩ (B ∖ z)) = ∅
14	12, 13	syl6eq 1140	. . 3 ⊢ (x ∈ (C ↑m z) → (dom x ∩ dom ((B ∖ z) × {w})) = ∅)
15		dmin 2537	. . . . 5 ⊢ dom (x ∩ ((B ∖ z) × {w})) ⊆ (dom x ∩ dom ((B ∖ z) × {w}))
16		sseq2 1522	. . . . 5 ⊢ ((dom x ∩ dom ((B ∖ z) × {w})) = ∅ → (dom (x ∩ ((B ∖ z) × {w})) ⊆ (dom x ∩ dom ((B ∖ z) × {w})) ↔ dom (x ∩ ((B ∖ z) × {w})) ⊆ ∅))
17	15, 16	mpbii 168	. . . 4 ⊢ ((dom x ∩ dom ((B ∖ z) × {w})) = ∅ → dom (x ∩ ((B ∖ z) × {w})) ⊆ ∅)
18		ss0 1727	. . . 4 ⊢ (dom (x ∩ ((B ∖ z) × {w})) ⊆ ∅ → dom (x ∩ ((B ∖ z) × {w})) = ∅)
19	17, 18	syl 12	. . 3 ⊢ ((dom x ∩ dom ((B ∖ z) × {w})) = ∅ → dom (x ∩ ((B ∖ z) × {w})) = ∅)
20	14, 19	syl 12	. 2 ⊢ (x ∈ (C ↑m z) → dom (x ∩ ((B ∖ z) × {w})) = ∅)
21		relxp 2486	. . . . 5 ⊢ Rel ((B ∖ z) × {w})
22		relin 2491	. . . . 5 ⊢ (Rel ((B ∖ z) × {w}) → Rel (((B ∖ z) × {w}) ∩ x))
23	21, 22	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ Rel (((B ∖ z) × {w}) ∩ x)
24		incom 1636	. . . . 5 ⊢ (((B ∖ z) × {w}) ∩ x) = (x ∩ ((B ∖ z) × {w}))
25		releq 2477	. . . . 5 ⊢ ((((B ∖ z) × {w}) ∩ x) = (x ∩ ((B ∖ z) × {w})) → (Rel (((B ∖ z) × {w}) ∩ x) ↔ Rel (x ∩ ((B ∖ z) × {w}))))
26	24, 25	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ (Rel (((B ∖ z) × {w}) ∩ x) ↔ Rel (x ∩ ((B ∖ z) × {w})))
27	23, 26	mpbi 164	. . 3 ⊢ Rel (x ∩ ((B ∖ z) × {w}))
28		reldm0 2550	. . 3 ⊢ (Rel (x ∩ ((B ∖ z) × {w})) → ((x ∩ ((B ∖ z) × {w})) = ∅ ↔ dom (x ∩ ((B ∖ z) × {w})) = ∅))
29	27, 28	ax-mp 6	. 2 ⊢ ((x ∩ ((B ∖ z) × {w})) = ∅ ↔ dom (x ∩ ((B ∖ z) × {w})) = ∅)
30	20, 29	sylibr 175	1 ⊢ (x ∈ (C ↑m z) → (x ∩ ((B ∖ z) × {w})) = ∅)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∖ cdif 1484   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  {csn 1808   × cxp 2408  dom cdm 2410  Rel wrel 2415  –→wf 2418  (class class class)co 3001   ↑_m cm 3258

This theorem is referenced by:  mapdom2 3389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-map 3259

metamath.org