Theorem mdbr4 5730

Description: Binary relation expressing the modular pair property. This version quantifies an ordering instead of an inference.

Assertion

Ref	Expression
mdbr4	⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (A Mℋ B ↔ ∀x ∈ Cℋ (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B))))

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem mdbr4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdbr2 5728	. 2 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (A Mℋ B ↔ ∀y ∈ Cℋ (y ⊆ B → ((y ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (y ∨ℋ (A ∩ B)))))
2		chinclt 5416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (x ∩ B) ∈ Cℋ )
3	2	ancoms 334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ Cℋ ∧ x ∈ Cℋ ) → (x ∩ B) ∈ Cℋ )
4		inss2 1658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∩ B) ⊆ B
5	3, 4	jctir 241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ Cℋ ∧ x ∈ Cℋ ) → ((x ∩ B) ∈ Cℋ ∧ (x ∩ B) ⊆ B))
6	5	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ Cℋ → (x ∈ Cℋ → ((x ∩ B) ∈ Cℋ ∧ (x ∩ B) ⊆ B)))
7	6	syl4d 28	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ Cℋ → ((((x ∩ B) ∈ Cℋ ∧ (x ∩ B) ⊆ B) → (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B))) → (x ∈ Cℋ → (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B)))))
8		impexp 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((x ∩ B) ∈ Cℋ ∧ (x ∩ B) ⊆ B) → (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B))) ↔ ((x ∩ B) ∈ Cℋ → ((x ∩ B) ⊆ B → (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B)))))
9	7, 8	syl5ibr 182	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ Cℋ → (((x ∩ B) ∈ Cℋ → ((x ∩ B) ⊆ B → (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B)))) → (x ∈ Cℋ → (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B)))))
10		sseq1 1521	. . . . . . . 8 ⊢ (y = (x ∩ B) → (y ⊆ B ↔ (x ∩ B) ⊆ B))
11		opreq1 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = (x ∩ B) → (y ∨ℋ A) = ((x ∩ B) ∨ℋ A))
12	11	ineq1d 1644	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = (x ∩ B) → ((y ∨ℋ A) ∩ B) = (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B))
13		opreq1 3006	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = (x ∩ B) → (y ∨ℋ (A ∩ B)) = ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B)))
14	12, 13	sseq12d 1529	. . . . . . . 8 ⊢ (y = (x ∩ B) → (((y ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (y ∨ℋ (A ∩ B)) ↔ (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B))))
15	10, 14	imbi12d 474	. . . . . . 7 ⊢ (y = (x ∩ B) → ((y ⊆ B → ((y ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (y ∨ℋ (A ∩ B))) ↔ ((x ∩ B) ⊆ B → (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B)))))
16	15	rcla4v 1402	. . . . . 6 ⊢ (∀y ∈ Cℋ (y ⊆ B → ((y ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (y ∨ℋ (A ∩ B))) → ((x ∩ B) ∈ Cℋ → ((x ∩ B) ⊆ B → (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B)))))
17	9, 16	syl5 22	. . . . 5 ⊢ (B ∈ Cℋ → (∀y ∈ Cℋ (y ⊆ B → ((y ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (y ∨ℋ (A ∩ B))) → (x ∈ Cℋ → (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B)))))
18	17	r19.21adv 1262	. . . 4 ⊢ (B ∈ Cℋ → (∀y ∈ Cℋ (y ⊆ B → ((y ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (y ∨ℋ (A ∩ B))) → ∀x ∈ Cℋ (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B))))
19		dfss 1493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ⊆ B ↔ x = (x ∩ B))
20	19	biimp 133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ⊆ B → x = (x ∩ B))
21	20	opreq1d 3012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ⊆ B → (x ∨ℋ A) = ((x ∩ B) ∨ℋ A))
22	21	ineq1d 1644	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ⊆ B → ((x ∨ℋ A) ∩ B) = (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B))
23	20	opreq1d 3012	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ⊆ B → (x ∨ℋ (A ∩ B)) = ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B)))
24	22, 23	sseq12d 1529	. . . . . . . 8 ⊢ (x ⊆ B → (((x ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (x ∨ℋ (A ∩ B)) ↔ (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B))))
25	24	biimprcd 138	. . . . . . 7 ⊢ ((((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B)) → (x ⊆ B → ((x ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (x ∨ℋ (A ∩ B))))
26	25	r19.20si 1254	. . . . . 6 ⊢ (∀x ∈ Cℋ (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B)) → ∀x ∈ Cℋ (x ⊆ B → ((x ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (x ∨ℋ (A ∩ B))))
27		sseq1 1521	. . . . . . . 8 ⊢ (x = y → (x ⊆ B ↔ y ⊆ B))
28		opreq1 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = y → (x ∨ℋ A) = (y ∨ℋ A))
29	28	ineq1d 1644	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = y → ((x ∨ℋ A) ∩ B) = ((y ∨ℋ A) ∩ B))
30		opreq1 3006	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = y → (x ∨ℋ (A ∩ B)) = (y ∨ℋ (A ∩ B)))
31	29, 30	sseq12d 1529	. . . . . . . 8 ⊢ (x = y → (((x ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (x ∨ℋ (A ∩ B)) ↔ ((y ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (y ∨ℋ (A ∩ B))))
32	27, 31	imbi12d 474	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → ((x ⊆ B → ((x ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (x ∨ℋ (A ∩ B))) ↔ (y ⊆ B → ((y ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (y ∨ℋ (A ∩ B)))))
33	32	cbvralv 1333	. . . . . 6 ⊢ (∀x ∈ Cℋ (x ⊆ B → ((x ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (x ∨ℋ (A ∩ B))) ↔ ∀y ∈ Cℋ (y ⊆ B → ((y ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (y ∨ℋ (A ∩ B))))
34	26, 33	sylib 173	. . . . 5 ⊢ (∀x ∈ Cℋ (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B)) → ∀y ∈ Cℋ (y ⊆ B → ((y ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (y ∨ℋ (A ∩ B))))
35	34	a1i 7	. . . 4 ⊢ (B ∈ Cℋ → (∀x ∈ Cℋ (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B)) → ∀y ∈ Cℋ (y ⊆ B → ((y ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (y ∨ℋ (A ∩ B)))))
36	18, 35	impbid 397	. . 3 ⊢ (B ∈ Cℋ → (∀y ∈ Cℋ (y ⊆ B → ((y ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (y ∨ℋ (A ∩ B))) ↔ ∀x ∈ Cℋ (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B))))
37	36	adantl 305	. 2 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (∀y ∈ Cℋ (y ⊆ B → ((y ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ (y ∨ℋ (A ∩ B))) ↔ ∀x ∈ Cℋ (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B))))
38	1, 37	bitrd 406	1 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (A Mℋ B ↔ ∀x ∈ Cℋ (((x ∩ B) ∨ℋ A) ∩ B) ⊆ ((x ∩ B) ∨ℋ (A ∩ B))))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001   C_ℋ cch 4968   ∨_ℋ chj 4972   M_ℋ cmd 4982

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-shsum 5275  df-chj 5277  df-md 5713

metamath.org