Theorem mdi 5727

Description: Consequence of the modular pair property.

Assertion

Ref	Expression
mdi	⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ∧ C ∈ Cℋ ) → (A Mℋ B → (C ⊆ B → ((C ∨ℋ A) ∩ B) = (C ∨ℋ (A ∩ B)))))

Proof of Theorem mdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdbr 5726	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (A Mℋ B ↔ ∀x ∈ Cℋ (x ⊆ B → ((x ∨ℋ A) ∩ B) = (x ∨ℋ (A ∩ B)))))
2		sseq1 1521	. . . . . . 7 ⊢ (x = C → (x ⊆ B ↔ C ⊆ B))
3		opreq1 3006	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = C → (x ∨ℋ A) = (C ∨ℋ A))
4	3	ineq1d 1644	. . . . . . . 8 ⊢ (x = C → ((x ∨ℋ A) ∩ B) = ((C ∨ℋ A) ∩ B))
5		opreq1 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (x = C → (x ∨ℋ (A ∩ B)) = (C ∨ℋ (A ∩ B)))
6	4, 5	cleq12d 1115	. . . . . . 7 ⊢ (x = C → (((x ∨ℋ A) ∩ B) = (x ∨ℋ (A ∩ B)) ↔ ((C ∨ℋ A) ∩ B) = (C ∨ℋ (A ∩ B))))
7	2, 6	imbi12d 474	. . . . . 6 ⊢ (x = C → ((x ⊆ B → ((x ∨ℋ A) ∩ B) = (x ∨ℋ (A ∩ B))) ↔ (C ⊆ B → ((C ∨ℋ A) ∩ B) = (C ∨ℋ (A ∩ B)))))
8	7	rcla4v 1402	. . . . 5 ⊢ (∀x ∈ Cℋ (x ⊆ B → ((x ∨ℋ A) ∩ B) = (x ∨ℋ (A ∩ B))) → (C ∈ Cℋ → (C ⊆ B → ((C ∨ℋ A) ∩ B) = (C ∨ℋ (A ∩ B)))))
9	1, 8	syl6bi 187	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (A Mℋ B → (C ∈ Cℋ → (C ⊆ B → ((C ∨ℋ A) ∩ B) = (C ∨ℋ (A ∩ B))))))
10	9	com23 32	. . 3 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (C ∈ Cℋ → (A Mℋ B → (C ⊆ B → ((C ∨ℋ A) ∩ B) = (C ∨ℋ (A ∩ B))))))
11	10	imp 277	. 2 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ C ∈ Cℋ ) → (A Mℋ B → (C ⊆ B → ((C ∨ℋ A) ∩ B) = (C ∨ℋ (A ∩ B)))))
12	11	3impa 609	1 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ∧ C ∈ Cℋ ) → (A Mℋ B → (C ⊆ B → ((C ∨ℋ A) ∩ B) = (C ∨ℋ (A ∩ B)))))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001   C_ℋ cch 4968   ∨_ℋ chj 4972   M_ℋ cmd 4982

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003  df-md 5713

metamath.org