Theorem mdsymlem1 5776

Description: Lemma for mdsym 5784.

Hypotheses

Ref	Expression
mdsymlem1.1	⊢ A ∈ Cℋ
mdsymlem1.2	⊢ B ∈ Cℋ
mdsymlem1.3	⊢ C = (A ∨ℋ p)

Assertion

Ref	Expression
mdsymlem1	⊢ (((p ∈ Cℋ ∧ (B ∩ C) ⊆ A) ∧ ((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B))) → p ⊆ A)

Distinct variable group(s):   A,p   B,p

Proof of Theorem mdsymlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdsymlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ Cℋ
2		chub2t 5425	. . . . . . . 8 ⊢ ((p ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) → p ⊆ (A ∨ℋ p))
3	1, 2	mpan2 519	. . . . . . 7 ⊢ (p ∈ Cℋ → p ⊆ (A ∨ℋ p))
4		mdsymlem1.3	. . . . . . 7 ⊢ C = (A ∨ℋ p)
5	3, 4	syl6ssr 1547	. . . . . 6 ⊢ (p ∈ Cℋ → p ⊆ C)
6		mdsymlem1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ B ∈ Cℋ
7	1, 6	chjcom 5389	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∨ℋ B) = (B ∨ℋ A)
8	7	sseq2i 1525	. . . . . . 7 ⊢ (p ⊆ (A ∨ℋ B) ↔ p ⊆ (B ∨ℋ A))
9	8	biimp 133	. . . . . 6 ⊢ (p ⊆ (A ∨ℋ B) → p ⊆ (B ∨ℋ A))
10	5, 9	anim12i 268	. . . . 5 ⊢ ((p ∈ Cℋ ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B)) → (p ⊆ C ∧ p ⊆ (B ∨ℋ A)))
11		ssin 1659	. . . . 5 ⊢ ((p ⊆ C ∧ p ⊆ (B ∨ℋ A)) ↔ p ⊆ (C ∩ (B ∨ℋ A)))
12	10, 11	sylib 173	. . . 4 ⊢ ((p ∈ Cℋ ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B)) → p ⊆ (C ∩ (B ∨ℋ A)))
13	12	adantrl 311	. . 3 ⊢ ((p ∈ Cℋ ∧ ((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B))) → p ⊆ (C ∩ (B ∨ℋ A)))
14	13	adantlr 310	. 2 ⊢ (((p ∈ Cℋ ∧ (B ∩ C) ⊆ A) ∧ ((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B))) → p ⊆ (C ∩ (B ∨ℋ A)))
15		chub1t 5424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ p ∈ Cℋ ) → A ⊆ (A ∨ℋ p))
16	1, 15	mpan 518	. . . . . . . 8 ⊢ (p ∈ Cℋ → A ⊆ (A ∨ℋ p))
17	16, 4	syl6ssr 1547	. . . . . . 7 ⊢ (p ∈ Cℋ → A ⊆ C)
18	17	adantr 306	. . . . . 6 ⊢ ((p ∈ Cℋ ∧ (⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A)) → A ⊆ C)
19	4	a1i 7	. . . . . . . . 9 ⊢ (p ∈ Cℋ → C = (A ∨ℋ p))
20		chjclt 5330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ p ∈ Cℋ ) → (A ∨ℋ p) ∈ Cℋ )
21	1, 20	mpan 518	. . . . . . . . 9 ⊢ (p ∈ Cℋ → (A ∨ℋ p) ∈ Cℋ )
22	19, 21	eqeltrd 1163	. . . . . . . 8 ⊢ (p ∈ Cℋ → C ∈ Cℋ )
23		dmdi 5732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ∧ C ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) → (A ⊆ C → ((C ∩ B) ∨ℋ A) = (C ∩ (B ∨ℋ A)))))
24	6, 23	mp3an1 639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ C ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) → (A ⊆ C → ((C ∩ B) ∨ℋ A) = (C ∩ (B ∨ℋ A)))))
25	1, 24	mpan 518	. . . . . . . 8 ⊢ (C ∈ Cℋ → ((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) → (A ⊆ C → ((C ∩ B) ∨ℋ A) = (C ∩ (B ∨ℋ A)))))
26	22, 25	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ (p ∈ Cℋ → ((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) → (A ⊆ C → ((C ∩ B) ∨ℋ A) = (C ∩ (B ∨ℋ A)))))
27	26	imp 277	. . . . . 6 ⊢ ((p ∈ Cℋ ∧ (⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A)) → (A ⊆ C → ((C ∩ B) ∨ℋ A) = (C ∩ (B ∨ℋ A))))
28	18, 27	mpd 46	. . . . 5 ⊢ ((p ∈ Cℋ ∧ (⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A)) → ((C ∩ B) ∨ℋ A) = (C ∩ (B ∨ℋ A)))
29	28	adantlr 310	. . . 4 ⊢ (((p ∈ Cℋ ∧ (B ∩ C) ⊆ A) ∧ (⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A)) → ((C ∩ B) ∨ℋ A) = (C ∩ (B ∨ℋ A)))
30		chinclt 5416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ Cℋ ∧ C ∈ Cℋ ) → (B ∩ C) ∈ Cℋ )
31	6, 30	mpan 518	. . . . . . . 8 ⊢ (C ∈ Cℋ → (B ∩ C) ∈ Cℋ )
32		chlejb1t 5429	. . . . . . . . 9 ⊢ (((B ∩ C) ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) → ((B ∩ C) ⊆ A ↔ ((B ∩ C) ∨ℋ A) = A))
33	1, 32	mpan2 519	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∩ C) ∈ Cℋ → ((B ∩ C) ⊆ A ↔ ((B ∩ C) ∨ℋ A) = A))
34	22, 31, 33	3syl 21	. . . . . . 7 ⊢ (p ∈ Cℋ → ((B ∩ C) ⊆ A ↔ ((B ∩ C) ∨ℋ A) = A))
35	34	biimpa 324	. . . . . 6 ⊢ ((p ∈ Cℋ ∧ (B ∩ C) ⊆ A) → ((B ∩ C) ∨ℋ A) = A)
36		incom 1636	. . . . . . 7 ⊢ (C ∩ B) = (B ∩ C)
37	36	opreq1i 3009	. . . . . 6 ⊢ ((C ∩ B) ∨ℋ A) = ((B ∩ C) ∨ℋ A)
38	35, 37	syl5eq 1136	. . . . 5 ⊢ ((p ∈ Cℋ ∧ (B ∩ C) ⊆ A) → ((C ∩ B) ∨ℋ A) = A)
39	38	adantr 306	. . . 4 ⊢ (((p ∈ Cℋ ∧ (B ∩ C) ⊆ A) ∧ (⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A)) → ((C ∩ B) ∨ℋ A) = A)
40	29, 39	eqtr3d 1130	. . 3 ⊢ (((p ∈ Cℋ ∧ (B ∩ C) ⊆ A) ∧ (⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A)) → (C ∩ (B ∨ℋ A)) = A)
41	40	adantrr 312	. 2 ⊢ (((p ∈ Cℋ ∧ (B ∩ C) ⊆ A) ∧ ((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B))) → (C ∩ (B ∨ℋ A)) = A)
42	14, 41	sseqtrd 1536	1 ⊢ (((p ∈ Cℋ ∧ (B ∩ C) ⊆ A) ∧ ((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B))) → p ⊆ A)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969   ∨_ℋ chj 4972   M_ℋ cmd 4982

This theorem is referenced by:  mdsymlem2 5777

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-shsum 5275  df-chj 5277  df-md 5713

metamath.org