Theorem mdsymlem4 5779

Description: Lemma for mdsym 5784. This is the forward direction of Lemma 4(i) of [Maeda] p. 168.

Hypotheses

Ref	Expression
mdsymlem1.1	⊢ A ∈ Cℋ
mdsymlem1.2	⊢ B ∈ Cℋ
mdsymlem1.3	⊢ C = (A ∨ℋ p)

Assertion

Ref	Expression
mdsymlem4	⊢ (p ∈ Atoms → (((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) ∧ ((¬ A = 0ℋ ∧ ¬ B = 0ℋ) ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B))) → ∃q ∈ Atoms ∃r ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B))))

Distinct variable group(s):   q,r,C   p,q,r,A   B,p,q,r

Proof of Theorem mdsymlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdsymlem1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ A ∈ Cℋ
2		mdsymlem1.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ B ∈ Cℋ
3		mdsymlem1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ C = (A ∨ℋ p)
4	1, 2, 3	mdsymlem2 5777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((p ∈ Atoms ∧ (B ∩ C) ⊆ A) ∧ ((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B))) → (¬ B = 0ℋ → ∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B))))
5	4	exp31 293	. . . . . . . . 9 ⊢ (p ∈ Atoms → ((B ∩ C) ⊆ A → (((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B)) → (¬ B = 0ℋ → ∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B))))))
6	5	com4t 40	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B)) → (¬ B = 0ℋ → (p ∈ Atoms → ((B ∩ C) ⊆ A → ∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B))))))
7	6	exp 291	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) → (p ⊆ (A ∨ℋ B) → (¬ B = 0ℋ → (p ∈ Atoms → ((B ∩ C) ⊆ A → ∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)))))))
8	7	com23 32	. . . . . 6 ⊢ ((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) → (¬ B = 0ℋ → (p ⊆ (A ∨ℋ B) → (p ∈ Atoms → ((B ∩ C) ⊆ A → ∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)))))))
9	8	a1d 14	. . . . 5 ⊢ ((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) → (¬ A = 0ℋ → (¬ B = 0ℋ → (p ⊆ (A ∨ℋ B) → (p ∈ Atoms → ((B ∩ C) ⊆ A → ∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B))))))))
10	9	imp44 289	. . . 4 ⊢ (((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) ∧ ((¬ A = 0ℋ ∧ ¬ B = 0ℋ) ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B))) → (p ∈ Atoms → ((B ∩ C) ⊆ A → ∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)))))
11	10	com3l 34	. . 3 ⊢ (p ∈ Atoms → ((B ∩ C) ⊆ A → (((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) ∧ ((¬ A = 0ℋ ∧ ¬ B = 0ℋ) ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B))) → ∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)))))
12	1, 2, 3	mdsymlem3 5778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((p ∈ Atoms ∧ ¬ (B ∩ C) ⊆ A) ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B)) ∧ ¬ A = 0ℋ) → ∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)))
13	12	anasss 337	. . . . . . . . 9 ⊢ (((p ∈ Atoms ∧ ¬ (B ∩ C) ⊆ A) ∧ (p ⊆ (A ∨ℋ B) ∧ ¬ A = 0ℋ)) → ∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)))
14	13	exp31 293	. . . . . . . 8 ⊢ (p ∈ Atoms → (¬ (B ∩ C) ⊆ A → ((p ⊆ (A ∨ℋ B) ∧ ¬ A = 0ℋ) → ∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)))))
15	14	com3r 35	. . . . . . 7 ⊢ ((p ⊆ (A ∨ℋ B) ∧ ¬ A = 0ℋ) → (p ∈ Atoms → (¬ (B ∩ C) ⊆ A → ∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)))))
16	15	ancoms 334	. . . . . 6 ⊢ ((¬ A = 0ℋ ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B)) → (p ∈ Atoms → (¬ (B ∩ C) ⊆ A → ∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)))))
17	16	adantlr 310	. . . . 5 ⊢ (((¬ A = 0ℋ ∧ ¬ B = 0ℋ) ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B)) → (p ∈ Atoms → (¬ (B ∩ C) ⊆ A → ∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)))))
18	17	adantl 305	. . . 4 ⊢ (((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) ∧ ((¬ A = 0ℋ ∧ ¬ B = 0ℋ) ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B))) → (p ∈ Atoms → (¬ (B ∩ C) ⊆ A → ∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)))))
19	18	com3l 34	. . 3 ⊢ (p ∈ Atoms → (¬ (B ∩ C) ⊆ A → (((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) ∧ ((¬ A = 0ℋ ∧ ¬ B = 0ℋ) ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B))) → ∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)))))
20	11, 19	pm2.61d 112	. 2 ⊢ (p ∈ Atoms → (((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) ∧ ((¬ A = 0ℋ ∧ ¬ B = 0ℋ) ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B))) → ∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B))))
21		rexcom 1313	. 2 ⊢ (∃r ∈ Atoms ∃q ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)) ↔ ∃q ∈ Atoms ∃r ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)))
22	20, 21	syl6ib 185	1 ⊢ (p ∈ Atoms → (((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) ∧ ((¬ A = 0ℋ ∧ ¬ B = 0ℋ) ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B))) → ∃q ∈ Atoms ∃r ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B))))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969   ∨_ℋ chj 4972  0_ℋc0h 4974  Atomscat 4980   M_ℋ cmd 4982

This theorem is referenced by:  mdsymlem7 5782

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-shsum 5275  df-span 5276  df-chj 5277  df-chsup 5278  df-cv 5712  df-md 5713  df-at 5737

metamath.org