Theorem mdsymlem6 5781

Description: Lemma for mdsym 5784. This is the converse direction of Lemma 4(i) of [Maeda] p. 168, and is based on the proof of Theorem 1(d) to (e) of [Maeda] p. 167.

Hypotheses

Ref	Expression
mdsymlem1.1	⊢ A ∈ Cℋ
mdsymlem1.2	⊢ B ∈ Cℋ
mdsymlem1.3	⊢ C = (A ∨ℋ p)

Assertion

Ref	Expression
mdsymlem6	⊢ (∀p ∈ Atoms (p ⊆ (A ∨ℋ B) → ∃q ∈ Atoms ∃r ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B))) → (⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A))

Distinct variable group(s):   q,r,C   p,q,r,A   B,p,q,r

Proof of Theorem mdsymlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdsymlem1.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ A ∈ Cℋ
2		mdsymlem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ B ∈ Cℋ
3		mdsymlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ C = (A ∨ℋ p)
4	1, 2, 3	mdsymlem5 5780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((q ∈ Atoms ∧ r ∈ Atoms) → (¬ q = p → ((p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)) → (((c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c) ∧ p ∈ Atoms) → (p ⊆ c → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))))
5		sseq1 1521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (q = p → (q ⊆ A ↔ p ⊆ A))
6		sstr2 1510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (p ⊆ A → (A ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A) → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A)))
7		chinclt 5416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((c ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (c ∩ B) ∈ Cℋ )
8	2, 7	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (c ∈ Cℋ → (c ∩ B) ∈ Cℋ )
9		chub2t 5425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ (c ∩ B) ∈ Cℋ ) → A ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))
10	1, 9	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((c ∩ B) ∈ Cℋ → A ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))
11	8, 10	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (c ∈ Cℋ → A ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))
12	6, 11	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (p ⊆ A → (c ∈ Cℋ → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A)))
13	5, 12	syl6bi 187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (q = p → (q ⊆ A → (c ∈ Cℋ → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
14	13	imp3a 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (q = p → ((q ⊆ A ∧ c ∈ Cℋ ) → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A)))
15	14	a1i 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (p ⊆ c → (q = p → ((q ⊆ A ∧ c ∈ Cℋ ) → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
16	15	com13 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((q ⊆ A ∧ c ∈ Cℋ ) → (q = p → (p ⊆ c → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
17	16	adantrr 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((q ⊆ A ∧ (c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c)) → (q = p → (p ⊆ c → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
18	17	adantrr 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((q ⊆ A ∧ ((c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c) ∧ p ∈ Atoms)) → (q = p → (p ⊆ c → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
19	18	adantlr 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((q ⊆ A ∧ r ⊆ B) ∧ ((c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c) ∧ p ∈ Atoms)) → (q = p → (p ⊆ c → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
20	19	adantll 309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)) ∧ ((c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c) ∧ p ∈ Atoms)) → (q = p → (p ⊆ c → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
21	20	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (q = p → (((p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)) ∧ ((c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c) ∧ p ∈ Atoms)) → (p ⊆ c → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
22	21	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (q = p → ((p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)) → (((c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c) ∧ p ∈ Atoms) → (p ⊆ c → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A)))))
23	4, 22	pm2.61d2 111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((q ∈ Atoms ∧ r ∈ Atoms) → ((p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)) → (((c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c) ∧ p ∈ Atoms) → (p ⊆ c → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A)))))
24	23	r19.23aivv 1287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃q ∈ Atoms ∃r ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)) → (((c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c) ∧ p ∈ Atoms) → (p ⊆ c → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
25	24	com12 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c) ∧ p ∈ Atoms) → (∃q ∈ Atoms ∃r ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)) → (p ⊆ c → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
26	25	syl3d 26	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c) ∧ p ∈ Atoms) → ((p ⊆ (A ∨ℋ B) → ∃q ∈ Atoms ∃r ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B))) → (p ⊆ (A ∨ℋ B) → (p ⊆ c → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A)))))
27	26	com34 36	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c) ∧ p ∈ Atoms) → ((p ⊆ (A ∨ℋ B) → ∃q ∈ Atoms ∃r ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B))) → (p ⊆ c → (p ⊆ (A ∨ℋ B) → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A)))))
28	27	imp4b 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c) ∧ p ∈ Atoms) ∧ (p ⊆ (A ∨ℋ B) → ∃q ∈ Atoms ∃r ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)))) → ((p ⊆ c ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B)) → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A)))
29	1, 2	chjcom 5389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∨ℋ B) = (B ∨ℋ A)
30	29	sseq2i 1525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (p ⊆ (A ∨ℋ B) ↔ p ⊆ (B ∨ℋ A))
31	30	anbi2i 367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((p ⊆ c ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B)) ↔ (p ⊆ c ∧ p ⊆ (B ∨ℋ A)))
32		ssin 1659	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((p ⊆ c ∧ p ⊆ (B ∨ℋ A)) ↔ p ⊆ (c ∩ (B ∨ℋ A)))
33	31, 32	bitr 151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((p ⊆ c ∧ p ⊆ (A ∨ℋ B)) ↔ p ⊆ (c ∩ (B ∨ℋ A)))
34	28, 33	syl5ibr 182	. . . . . . . 8 ⊢ ((((c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c) ∧ p ∈ Atoms) ∧ (p ⊆ (A ∨ℋ B) → ∃q ∈ Atoms ∃r ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B)))) → (p ⊆ (c ∩ (B ∨ℋ A)) → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A)))
35	34	exp 291	. . . . . . 7 ⊢ (((c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c) ∧ p ∈ Atoms) → ((p ⊆ (A ∨ℋ B) → ∃q ∈ Atoms ∃r ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B))) → (p ⊆ (c ∩ (B ∨ℋ A)) → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
36	35	r19.20dva 1256	. . . . . 6 ⊢ ((c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c) → (∀p ∈ Atoms (p ⊆ (A ∨ℋ B) → ∃q ∈ Atoms ∃r ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B))) → ∀p ∈ Atoms (p ⊆ (c ∩ (B ∨ℋ A)) → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
37		chrelat3t 5762	. . . . . . . 8 ⊢ (((c ∩ (B ∨ℋ A)) ∈ Cℋ ∧ ((c ∩ B) ∨ℋ A) ∈ Cℋ ) → ((c ∩ (B ∨ℋ A)) ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A) ↔ ∀p ∈ Atoms (p ⊆ (c ∩ (B ∨ℋ A)) → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
38	2, 1	chjcl 5379	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∨ℋ A) ∈ Cℋ
39		chinclt 5416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((c ∈ Cℋ ∧ (B ∨ℋ A) ∈ Cℋ ) → (c ∩ (B ∨ℋ A)) ∈ Cℋ )
40	38, 39	mpan2 519	. . . . . . . 8 ⊢ (c ∈ Cℋ → (c ∩ (B ∨ℋ A)) ∈ Cℋ )
41		chjclt 5330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((c ∩ B) ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) → ((c ∩ B) ∨ℋ A) ∈ Cℋ )
42	1, 41	mpan2 519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((c ∩ B) ∈ Cℋ → ((c ∩ B) ∨ℋ A) ∈ Cℋ )
43	8, 42	syl 12	. . . . . . . 8 ⊢ (c ∈ Cℋ → ((c ∩ B) ∨ℋ A) ∈ Cℋ )
44	37, 40, 43	sylanc 361	. . . . . . 7 ⊢ (c ∈ Cℋ → ((c ∩ (B ∨ℋ A)) ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A) ↔ ∀p ∈ Atoms (p ⊆ (c ∩ (B ∨ℋ A)) → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
45	44	adantr 306	. . . . . 6 ⊢ ((c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c) → ((c ∩ (B ∨ℋ A)) ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A) ↔ ∀p ∈ Atoms (p ⊆ (c ∩ (B ∨ℋ A)) → p ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
46	36, 45	sylibrd 179	. . . . 5 ⊢ ((c ∈ Cℋ ∧ A ⊆ c) → (∀p ∈ Atoms (p ⊆ (A ∨ℋ B) → ∃q ∈ Atoms ∃r ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B))) → (c ∩ (B ∨ℋ A)) ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A)))
47	46	exp 291	. . . 4 ⊢ (c ∈ Cℋ → (A ⊆ c → (∀p ∈ Atoms (p ⊆ (A ∨ℋ B) → ∃q ∈ Atoms ∃r ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B))) → (c ∩ (B ∨ℋ A)) ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
48	47	com3r 35	. . 3 ⊢ (∀p ∈ Atoms (p ⊆ (A ∨ℋ B) → ∃q ∈ Atoms ∃r ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B))) → (c ∈ Cℋ → (A ⊆ c → (c ∩ (B ∨ℋ A)) ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
49	48	r19.21aiv 1259	. 2 ⊢ (∀p ∈ Atoms (p ⊆ (A ∨ℋ B) → ∃q ∈ Atoms ∃r ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B))) → ∀c ∈ Cℋ (A ⊆ c → (c ∩ (B ∨ℋ A)) ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A)))
50		dmdbr2 5733	. . 3 ⊢ ((B ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) ↔ ∀c ∈ Cℋ (A ⊆ c → (c ∩ (B ∨ℋ A)) ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A))))
51	2, 1, 50	mp2an 520	. 2 ⊢ ((⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A) ↔ ∀c ∈ Cℋ (A ⊆ c → (c ∩ (B ∨ℋ A)) ⊆ ((c ∩ B) ∨ℋ A)))
52	49, 51	sylibr 175	1 ⊢ (∀p ∈ Atoms (p ⊆ (A ∨ℋ B) → ∃q ∈ Atoms ∃r ∈ Atoms (p ⊆ (q ∨ℋ r) ∧ (q ⊆ A ∧ r ⊆ B))) → (⊥ ‘B) Mℋ (⊥ ‘A))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969   ∨_ℋ chj 4972  Atomscat 4980   M_ℋ cmd 4982

This theorem is referenced by:  mdsymlem7 5782

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-shsum 5275  df-span 5276  df-chj 5277  df-chsup 5278  df-cv 5712  df-md 5713  df-at 5737

metamath.org