Theorem moexex 1058

Description: "At most one" double quantification.

Hypothesis

Ref	Expression
moexex.1	⊢ (φ → ∀yφ)

Assertion

Ref	Expression
moexex	⊢ ((∃*xφ ∧ ∀x∃*yψ) → ∃*y∃x(φ ∧ ψ))

Proof of Theorem moexex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbmo1 1032	. . . . 5 ⊢ (∃*xφ → ∀x∃*xφ)
2		hba1 698	. . . . . 6 ⊢ (∀x∃*yψ → ∀x∀x∃*yψ)
3		hbe1 709	. . . . . . 7 ⊢ (∃x(φ ∧ ψ) → ∀x∃x(φ ∧ ψ))
4	3	hbmo 1033	. . . . . 6 ⊢ (∃*y∃x(φ ∧ ψ) → ∀x∃*y∃x(φ ∧ ψ))
5	2, 4	hbim 702	. . . . 5 ⊢ ((∀x∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ)) → ∀x(∀x∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ)))
6	1, 5	hbim 702	. . . 4 ⊢ ((∃*xφ → (∀x∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ))) → ∀x(∃*xφ → (∀x∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ))))
7		moexex.1	. . . . . 6 ⊢ (φ → ∀yφ)
8	7	hbmo 1033	. . . . . 6 ⊢ (∃*xφ → ∀y∃*xφ)
9		mopick 1054	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃*xφ ∧ ∃x(φ ∧ ψ)) → (φ → ψ))
10	9	exp 291	. . . . . . 7 ⊢ (∃*xφ → (∃x(φ ∧ ψ) → (φ → ψ)))
11	10	com3r 35	. . . . . 6 ⊢ (φ → (∃*xφ → (∃x(φ ∧ ψ) → ψ)))
12	7, 8, 11	19.21ad 741	. . . . 5 ⊢ (φ → (∃*xφ → ∀y(∃x(φ ∧ ψ) → ψ)))
13		immo 1043	. . . . . 6 ⊢ (∀y(∃x(φ ∧ ψ) → ψ) → (∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ)))
14	13	a4sd 683	. . . . 5 ⊢ (∀y(∃x(φ ∧ ψ) → ψ) → (∀x∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ)))
15	12, 14	syl6 23	. . . 4 ⊢ (φ → (∃*xφ → (∀x∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ))))
16	6, 15	19.23ai 746	. . 3 ⊢ (∃xφ → (∃*xφ → (∀x∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ))))
17	7	hbex 701	. . . . . . . 8 ⊢ (∃xφ → ∀y∃xφ)
18		pm3.26 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((φ ∧ ψ) → φ)
19	18	19.22i 723	. . . . . . . 8 ⊢ (∃x(φ ∧ ψ) → ∃xφ)
20	17, 19	19.23ai 746	. . . . . . 7 ⊢ (∃y∃x(φ ∧ ψ) → ∃xφ)
21	20	con3i 90	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃xφ → ¬ ∃y∃x(φ ∧ ψ))
22		exmo 1042	. . . . . . 7 ⊢ (∃y∃x(φ ∧ ψ) ∨ ∃*y∃x(φ ∧ ψ))
23	22	ori 200	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃y∃x(φ ∧ ψ) → ∃*y∃x(φ ∧ ψ))
24	21, 23	syl 12	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃xφ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ))
25	24	a1d 14	. . . 4 ⊢ (¬ ∃xφ → (∀x∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ)))
26	25	a1d 14	. . 3 ⊢ (¬ ∃xφ → (∃*xφ → (∀x∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ))))
27	16, 26	pm2.61i 110	. 2 ⊢ (∃*xφ → (∀x∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ)))
28	27	imp 277	1 ⊢ ((∃*xφ ∧ ∀x∃*yψ) → ∃*y∃x(φ ∧ ψ))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678  ∃*wmo 1008

This theorem is referenced by:  moexexv 1059  2moswap 1064

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010

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