Theorem mpv 3908

Description: Value of multiplication on positive reals.

Assertion

Ref	Expression
mpv	⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (A ·P B) = {x∣∃y∃z((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ x = (y ·Q z))})

Distinct variable group(s):   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem mpv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mp 3883	. 2 ⊢ ·P = {⟨⟨w, v⟩, u⟩∣((w ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ u = {f∣∃g ∈ w ∃h ∈ v f = (g ·Q h)})}
2	1	genpv 3896	1 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (A ·P B) = {x∣∃y∃z((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ x = (y ·Q z))})

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  (class class class)co 3001   ·_Q cmq 3776  Pcnp 3779   ·_P cmp 3782

This theorem is referenced by:  mulcompr 3919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-mp 3883

metamath.org