Theorem mulasspq 3859

Description: Multiplication of positive fractions is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
mulasspq.1	⊢ B ∈ V
mulasspq.2	⊢ C ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mulasspq	⊢ ((A ·Q B) ·Q C) = (A ·Q (B ·Q C))

Proof of Theorem mulasspq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 3832	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		mulpipq 3849	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨(x ·N z), (y ·N w)⟩] ~Q )
3		mulpipq 3849	. . 3 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨(z ·N v), (w ·N u)⟩] ~Q )
4		mulpipq 3849	. . 3 ⊢ ((((x ·N z) ∈ N ∧ (y ·N w) ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨(x ·N z), (y ·N w)⟩] ~Q ·Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨((x ·N z) ·N v), ((y ·N w) ·N u)⟩] ~Q )
5		mulpipq 3849	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ ((z ·N v) ∈ N ∧ (w ·N u) ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨(z ·N v), (w ·N u)⟩] ~Q ) = [⟨(x ·N (z ·N v)), (y ·N (w ·N u))⟩] ~Q )
6		mulclpi 3815	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ N ∧ z ∈ N) → (x ·N z) ∈ N)
7		mulclpi 3815	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ N ∧ w ∈ N) → (y ·N w) ∈ N)
8	6, 7	anim12i 268	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (y ∈ N ∧ w ∈ N)) → ((x ·N z) ∈ N ∧ (y ·N w) ∈ N))
9	8	an4s 390	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ((x ·N z) ∈ N ∧ (y ·N w) ∈ N))
10		mulclpi 3815	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ N ∧ v ∈ N) → (z ·N v) ∈ N)
11		mulclpi 3815	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ N ∧ u ∈ N) → (w ·N u) ∈ N)
12	10, 11	anim12i 268	. . . 4 ⊢ (((z ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((z ·N v) ∈ N ∧ (w ·N u) ∈ N))
13	12	an4s 390	. . 3 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((z ·N v) ∈ N ∧ (w ·N u) ∈ N))
14		visset 1350	. . . 4 ⊢ z ∈ V
15		visset 1350	. . . 4 ⊢ v ∈ V
16	14, 15	mulasspi 3819	. . 3 ⊢ ((x ·N z) ·N v) = (x ·N (z ·N v))
17		visset 1350	. . . 4 ⊢ w ∈ V
18		visset 1350	. . . 4 ⊢ u ∈ V
19	17, 18	mulasspi 3819	. . 3 ⊢ ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u))
20	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 16, 19	ecoprass 3256	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q ∧ C ∈ Q) → ((A ·Q B) ·Q C) = (A ·Q (B ·Q C)))
21		mulasspq.1	. . 3 ⊢ B ∈ V
22		dmmulpq 3855	. . 3 ⊢ dom ·Q = (Q × Q)
23		mulasspq.2	. . 3 ⊢ C ∈ V
24		0npq 3844	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
25	21, 22, 23, 24	ndmoprass 3062	. 2 ⊢ (¬ (A ∈ Q ∧ B ∈ Q ∧ C ∈ Q) → ((A ·Q B) ·Q C) = (A ·Q (B ·Q C)))
26	20, 25	pm2.61i 110	1 ⊢ ((A ·Q B) ·Q C) = (A ·Q (B ·Q C))

Syntax hints:   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  (class class class)co 3001  Ncnpi 3766   ·_N cmi 3768   ~_Q ceq 3772  Qcnq 3773   ·_Q cmq 3776

This theorem is referenced by:  recmulpq 3864  addclprlem2 3913  mulclprlem 3915  mulasspr 3920  1idpr 3927  prlem936a 3947  prlem936 3949  reclem3pr 3952

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-mq 3834

metamath.org