Theorem mulcan 4207

Description: Cancellation law for multiplication. Theorem I.7 of [Apostol] p. 18.

Hypotheses

Ref	Expression
mulcan.1	⊢ A ∈ ℂ
mulcan.2	⊢ B ∈ ℂ
mulcan.3	⊢ C ∈ ℂ
mulcan.4	⊢ A ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
mulcan	⊢ ((A · B) = (A · C) ↔ B = C)

Proof of Theorem mulcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcan.1	. . . 4 ⊢ A ∈ ℂ
2		mulcan.4	. . . 4 ⊢ A ≠ 0
3	1, 2	recex 4117	. . 3 ⊢ ∃x ∈ ℂ (A · x) = 1
4		mulcan.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ B ∈ ℂ
5		axmulass 4073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((x · A) · B) = (x · (A · B)))
6	4, 5	mp3an3 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → ((x · A) · B) = (x · (A · B)))
7		mulcan.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ C ∈ ℂ
8		axmulass 4073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → ((x · A) · C) = (x · (A · C)))
9	7, 8	mp3an3 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → ((x · A) · C) = (x · (A · C)))
10	6, 9	cleq12d 1115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → (((x · A) · B) = ((x · A) · C) ↔ (x · (A · B)) = (x · (A · C))))
11	1, 10	mpan2 519	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℂ → (((x · A) · B) = ((x · A) · C) ↔ (x · (A · B)) = (x · (A · C))))
12		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ ((A · B) = (A · C) → (x · (A · B)) = (x · (A · C)))
13	11, 12	syl5bir 184	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℂ → ((A · B) = (A · C) → ((x · A) · B) = ((x · A) · C)))
14	13	adantr 306	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ (A · x) = 1) → ((A · B) = (A · C) → ((x · A) · B) = ((x · A) · C)))
15		axmulcom 4071	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ) → (A · x) = (x · A))
16	1, 15	mpan 518	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ℂ → (A · x) = (x · A))
17	16	cleq1d 1109	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℂ → ((A · x) = 1 ↔ (x · A) = 1))
18		opreq1 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x · A) = 1 → ((x · A) · B) = (1 · B))
19	4	mulid2 4115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · B) = B
20	18, 19	syl6eq 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x · A) = 1 → ((x · A) · B) = B)
21		opreq1 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x · A) = 1 → ((x · A) · C) = (1 · C))
22	7	mulid2 4115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · C) = C
23	21, 22	syl6eq 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x · A) = 1 → ((x · A) · C) = C)
24	20, 23	cleq12d 1115	. . . . . . . 8 ⊢ ((x · A) = 1 → (((x · A) · B) = ((x · A) · C) ↔ B = C))
25	17, 24	syl6bi 187	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℂ → ((A · x) = 1 → (((x · A) · B) = ((x · A) · C) ↔ B = C)))
26	25	imp 277	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ (A · x) = 1) → (((x · A) · B) = ((x · A) · C) ↔ B = C))
27	14, 26	sylibd 177	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ (A · x) = 1) → ((A · B) = (A · C) → B = C))
28	27	exp 291	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℂ → ((A · x) = 1 → ((A · B) = (A · C) → B = C)))
29	28	r19.23aiv 1284	. . 3 ⊢ (∃x ∈ ℂ (A · x) = 1 → ((A · B) = (A · C) → B = C))
30	3, 29	ax-mp 6	. 2 ⊢ ((A · B) = (A · C) → B = C)
31		opreq2 3007	. 2 ⊢ (B = C → (A · B) = (A · C))
32	30, 31	impbi 139	1 ⊢ ((A · B) = (A · C) ↔ B = C)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∃wrex 1202  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028  1c1 4029   · cmulc 4032

This theorem is referenced by:  mulcant 4208  div11 4252  sqr2irrlem1 4777  cjre 4811

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-mul 4040

metamath.org