Theorem mulcant 4208

Description: Cancellation law for multiplication (theorem form). Theorem I.7 of [Apostol] p. 18. Illustrates use of keephyp 1794.

Hypothesis

Ref	Expression
mulcant.1	⊢ A ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
mulcant	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → ((A · B) = (A · C) ↔ B = C))

Proof of Theorem mulcant

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 1) → (A · B) = (if(A ∈ ℂ, A, 1) · B))
2		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 1) → (A · C) = (if(A ∈ ℂ, A, 1) · C))
3	1, 2	cleq12d 1115	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 1) → ((A · B) = (A · C) ↔ (if(A ∈ ℂ, A, 1) · B) = (if(A ∈ ℂ, A, 1) · C)))
4	3	bibi1d 471	. 2 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 1) → (((A · B) = (A · C) ↔ B = C) ↔ ((if(A ∈ ℂ, A, 1) · B) = (if(A ∈ ℂ, A, 1) · C) ↔ B = C)))
5		opreq2 3007	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 1) → (if(A ∈ ℂ, A, 1) · B) = (if(A ∈ ℂ, A, 1) · if(B ∈ ℂ, B, 1)))
6	5	cleq1d 1109	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 1) → ((if(A ∈ ℂ, A, 1) · B) = (if(A ∈ ℂ, A, 1) · C) ↔ (if(A ∈ ℂ, A, 1) · if(B ∈ ℂ, B, 1)) = (if(A ∈ ℂ, A, 1) · C)))
7		cleq1 1107	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 1) → (B = C ↔ if(B ∈ ℂ, B, 1) = C))
8	6, 7	bibi12d 477	. 2 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 1) → (((if(A ∈ ℂ, A, 1) · B) = (if(A ∈ ℂ, A, 1) · C) ↔ B = C) ↔ ((if(A ∈ ℂ, A, 1) · if(B ∈ ℂ, B, 1)) = (if(A ∈ ℂ, A, 1) · C) ↔ if(B ∈ ℂ, B, 1) = C)))
9		opreq2 3007	. . . 4 ⊢ (C = if(C ∈ ℂ, C, 1) → (if(A ∈ ℂ, A, 1) · C) = (if(A ∈ ℂ, A, 1) · if(C ∈ ℂ, C, 1)))
10	9	cleq2d 1112	. . 3 ⊢ (C = if(C ∈ ℂ, C, 1) → ((if(A ∈ ℂ, A, 1) · if(B ∈ ℂ, B, 1)) = (if(A ∈ ℂ, A, 1) · C) ↔ (if(A ∈ ℂ, A, 1) · if(B ∈ ℂ, B, 1)) = (if(A ∈ ℂ, A, 1) · if(C ∈ ℂ, C, 1))))
11		cleq2 1110	. . 3 ⊢ (C = if(C ∈ ℂ, C, 1) → (if(B ∈ ℂ, B, 1) = C ↔ if(B ∈ ℂ, B, 1) = if(C ∈ ℂ, C, 1)))
12	10, 11	bibi12d 477	. 2 ⊢ (C = if(C ∈ ℂ, C, 1) → (((if(A ∈ ℂ, A, 1) · if(B ∈ ℂ, B, 1)) = (if(A ∈ ℂ, A, 1) · C) ↔ if(B ∈ ℂ, B, 1) = C) ↔ ((if(A ∈ ℂ, A, 1) · if(B ∈ ℂ, B, 1)) = (if(A ∈ ℂ, A, 1) · if(C ∈ ℂ, C, 1)) ↔ if(B ∈ ℂ, B, 1) = if(C ∈ ℂ, C, 1))))
13		1cn 4101	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
14	13	elimel 1793	. . 3 ⊢ if(A ∈ ℂ, A, 1) ∈ ℂ
15	13	elimel 1793	. . 3 ⊢ if(B ∈ ℂ, B, 1) ∈ ℂ
16	13	elimel 1793	. . 3 ⊢ if(C ∈ ℂ, C, 1) ∈ ℂ
17		neeq1 1194	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 1) → (A ≠ 0 ↔ if(A ∈ ℂ, A, 1) ≠ 0))
18		neeq1 1194	. . . 4 ⊢ (1 = if(A ∈ ℂ, A, 1) → (1 ≠ 0 ↔ if(A ∈ ℂ, A, 1) ≠ 0))
19		mulcant.1	. . . 4 ⊢ A ≠ 0
20		ax1ne0 4075	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
21	17, 18, 19, 20	keephyp 1794	. . 3 ⊢ if(A ∈ ℂ, A, 1) ≠ 0
22	14, 15, 16, 21	mulcan 4207	. 2 ⊢ ((if(A ∈ ℂ, A, 1) · if(B ∈ ℂ, B, 1)) = (if(A ∈ ℂ, A, 1) · if(C ∈ ℂ, C, 1)) ↔ if(B ∈ ℂ, B, 1) = if(C ∈ ℂ, C, 1))
23	4, 8, 12, 22	dedth3h 1788	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → ((A · B) = (A · C) ↔ B = C))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ifcif 1776  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028  1c1 4029   · cmulc 4032

This theorem is referenced by:  mulcant2 4209  receu 4215  znnen 4930

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-mul 4040

metamath.org