Theorem mulclsr 3987

Description: Closure of multiplication on signed reals.

Assertion

Ref	Expression
mulclsr	⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → (A ·R B) ∈ R)

Proof of Theorem mulclsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 3961	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = A → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) = (A ·R [⟨z, w⟩] ~R ))
3	2	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = A → (([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ) ↔ (A ·R [⟨z, w⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R )))
4		opreq2 3007	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~R = B → (A ·R [⟨z, w⟩] ~R ) = (A ·R B))
5	4	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~R = B → ((A ·R [⟨z, w⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ) ↔ (A ·R B) ∈ ((P × P) / ~R )))
6		mulsrpr 3979	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R )
7		addclpr 3914	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ·P z) ∈ P ∧ (y ·P w) ∈ P) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) ∈ P)
8		mulclpr 3916	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ P ∧ z ∈ P) → (x ·P z) ∈ P)
9		mulclpr 3916	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ P ∧ w ∈ P) → (y ·P w) ∈ P)
10	7, 8, 9	syl2an 349	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ (y ∈ P ∧ w ∈ P)) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) ∈ P)
11	10	an4s 390	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) ∈ P)
12		addclpr 3914	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ·P w) ∈ P ∧ (y ·P z) ∈ P) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) ∈ P)
13		mulclpr 3916	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ P ∧ w ∈ P) → (x ·P w) ∈ P)
14		mulclpr 3916	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P) → (y ·P z) ∈ P)
15	12, 13, 14	syl2an 349	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (y ∈ P ∧ z ∈ P)) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) ∈ P)
16	15	an42s 391	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) ∈ P)
17	11, 16	jca 236	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → (((x ·P z) +P (y ·P w)) ∈ P ∧ ((x ·P w) +P (y ·P z)) ∈ P))
18		opelxpi 2455	. . . . 5 ⊢ ((((x ·P z) +P (y ·P w)) ∈ P ∧ ((x ·P w) +P (y ·P z)) ∈ P) → ⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩ ∈ (P × P))
19		enrex 3972	. . . . . 6 ⊢ ~R ∈ V
20	19	ecelqsi 3229	. . . . 5 ⊢ (⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩ ∈ (P × P) → [⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
21	17, 18, 20	3syl 21	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → [⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
22	6, 21	eqeltrd 1163	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ))
23	1, 3, 5, 22	2ecoptocl 3240	. 2 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → (A ·R B) ∈ ((P × P) / ~R ))
24	1	eleq2i 1153	. 2 ⊢ ((A ·R B) ∈ R ↔ (A ·R B) ∈ ((P × P) / ~R ))
25	23, 24	sylibr 175	1 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → (A ·R B) ∈ R)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   × cxp 2408  (class class class)co 3001  [cec 3198   / cqs 3199  Pcnp 3779   +_P cpp 3781   ·_P cmp 3782   ~_R cer 3786  Rcnr 3787   ·_R cmr 3792

This theorem is referenced by:  dmmulsr 3989  negexsr 4005  sqgt0sr 4009  recexsr 4010  ssgt0sr 4011  supsrlem2 4020  mulresr 4051  axmulcl 4068  axmulrcl 4069  axmulass 4073  axdistr 4074  axrecex 4079

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-mr 3963

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