Theorem mulcmpblnq 3847

Description: Lemma showing compatibility of multiplication.

Hypotheses

Ref	Expression
cmpblnq.1	⊢ A ∈ V
cmpblnq.2	⊢ B ∈ V
cmpblnq.3	⊢ C ∈ V
cmpblnq.4	⊢ D ∈ V
cmpblnq.5	⊢ F ∈ V
cmpblnq.6	⊢ G ∈ V
cmpblnq.7	⊢ R ∈ V
cmpblnq.8	⊢ S ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mulcmpblnq	⊢ ((((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) ∧ ((F ∈ N ∧ G ∈ N) ∧ (R ∈ N ∧ S ∈ N))) → (((A ·N D) = (B ·N C) ∧ (F ·N S) = (G ·N R)) → ⟨(A ·N F), (B ·N G)⟩ ~Q ⟨(C ·N R), (D ·N S)⟩))

Proof of Theorem mulcmpblnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ N ∧ F ∈ N) → (A ·N F) ∈ N)
2		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ N ∧ G ∈ N) → (B ·N G) ∈ N)
3	1, 2	anim12i 268	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ N ∧ F ∈ N) ∧ (B ∈ N ∧ G ∈ N)) → ((A ·N F) ∈ N ∧ (B ·N G) ∈ N))
4	3	an4s 390	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (F ∈ N ∧ G ∈ N)) → ((A ·N F) ∈ N ∧ (B ·N G) ∈ N))
5		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((C ∈ N ∧ R ∈ N) → (C ·N R) ∈ N)
6		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((D ∈ N ∧ S ∈ N) → (D ·N S) ∈ N)
7	5, 6	anim12i 268	. . . . . . 7 ⊢ (((C ∈ N ∧ R ∈ N) ∧ (D ∈ N ∧ S ∈ N)) → ((C ·N R) ∈ N ∧ (D ·N S) ∈ N))
8	7	an4s 390	. . . . . 6 ⊢ (((C ∈ N ∧ D ∈ N) ∧ (R ∈ N ∧ S ∈ N)) → ((C ·N R) ∈ N ∧ (D ·N S) ∈ N))
9	4, 8	anim12i 268	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (F ∈ N ∧ G ∈ N)) ∧ ((C ∈ N ∧ D ∈ N) ∧ (R ∈ N ∧ S ∈ N))) → (((A ·N F) ∈ N ∧ (B ·N G) ∈ N) ∧ ((C ·N R) ∈ N ∧ (D ·N S) ∈ N)))
10	9	an4s 390	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) ∧ ((F ∈ N ∧ G ∈ N) ∧ (R ∈ N ∧ S ∈ N))) → (((A ·N F) ∈ N ∧ (B ·N G) ∈ N) ∧ ((C ·N R) ∈ N ∧ (D ·N S) ∈ N)))
11		enqbreq 3838	. . . 4 ⊢ ((((A ·N F) ∈ N ∧ (B ·N G) ∈ N) ∧ ((C ·N R) ∈ N ∧ (D ·N S) ∈ N)) → (⟨(A ·N F), (B ·N G)⟩ ~Q ⟨(C ·N R), (D ·N S)⟩ ↔ ((A ·N F) ·N (D ·N S)) = ((B ·N G) ·N (C ·N R))))
12	10, 11	syl 12	. . 3 ⊢ ((((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) ∧ ((F ∈ N ∧ G ∈ N) ∧ (R ∈ N ∧ S ∈ N))) → (⟨(A ·N F), (B ·N G)⟩ ~Q ⟨(C ·N R), (D ·N S)⟩ ↔ ((A ·N F) ·N (D ·N S)) = ((B ·N G) ·N (C ·N R))))
13		cmpblnq.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ V
14		cmpblnq.5	. . . . 5 ⊢ F ∈ V
15		cmpblnq.4	. . . . 5 ⊢ D ∈ V
16		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
17		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
18	16, 17	mulcompi 3818	. . . . 5 ⊢ (x ·N y) = (y ·N x)
19		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ z ∈ V
20	17, 19	mulasspi 3819	. . . . 5 ⊢ ((x ·N y) ·N z) = (x ·N (y ·N z))
21		cmpblnq.8	. . . . 5 ⊢ S ∈ V
22	13, 14, 15, 18, 20, 21	caopr4 3078	. . . 4 ⊢ ((A ·N F) ·N (D ·N S)) = ((A ·N D) ·N (F ·N S))
23		cmpblnq.2	. . . . 5 ⊢ B ∈ V
24		cmpblnq.6	. . . . 5 ⊢ G ∈ V
25		cmpblnq.3	. . . . 5 ⊢ C ∈ V
26		cmpblnq.7	. . . . 5 ⊢ R ∈ V
27	23, 24, 25, 18, 20, 26	caopr4 3078	. . . 4 ⊢ ((B ·N G) ·N (C ·N R)) = ((B ·N C) ·N (G ·N R))
28	22, 27	cleq12i 1114	. . 3 ⊢ (((A ·N F) ·N (D ·N S)) = ((B ·N G) ·N (C ·N R)) ↔ ((A ·N D) ·N (F ·N S)) = ((B ·N C) ·N (G ·N R)))
29	12, 28	syl6bb 414	. 2 ⊢ ((((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) ∧ ((F ∈ N ∧ G ∈ N) ∧ (R ∈ N ∧ S ∈ N))) → (⟨(A ·N F), (B ·N G)⟩ ~Q ⟨(C ·N R), (D ·N S)⟩ ↔ ((A ·N D) ·N (F ·N S)) = ((B ·N C) ·N (G ·N R))))
30		opreq12 3008	. 2 ⊢ (((A ·N D) = (B ·N C) ∧ (F ·N S) = (G ·N R)) → ((A ·N D) ·N (F ·N S)) = ((B ·N C) ·N (G ·N R)))
31	29, 30	syl5bir 184	1 ⊢ ((((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) ∧ ((F ∈ N ∧ G ∈ N) ∧ (R ∈ N ∧ S ∈ N))) → (((A ·N D) = (B ·N C) ∧ (F ·N S) = (G ·N R)) → ⟨(A ·N F), (B ·N G)⟩ ~Q ⟨(C ·N R), (D ·N S)⟩))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Ncnpi 3766   ·_N cmi 3768   ~_Q ceq 3772

This theorem is referenced by:  mulpipq 3849

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-ni 3794  df-mi 3796  df-enq 3831

metamath.org