Theorem mulcom 4107

Description: Commutative law for multiplication.

Hypotheses

Ref	Expression
axi.1	⊢ A ∈ ℂ
axi.2	⊢ B ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mulcom	⊢ (A · B) = (B · A)

Proof of Theorem mulcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axi.1	. 2 ⊢ A ∈ ℂ
2		axi.2	. 2 ⊢ B ∈ ℂ
3		axmulcom 4071	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A · B) = (B · A))
4	1, 2, 3	mp2an 520	1 ⊢ (A · B) = (B · A)

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  (class class class)co 3001  ℂcc 4026   · cmulc 4032

This theorem is referenced by:  mulid2 4115  mul12 4178  muladd 4181  subdir 4183  mulzer2 4186  mulneg1 4190  mulneg2 4191  mul2neg 4192  divcan1 4225  divrec 4236  div23 4244  divcan4 4248  divcan4z 4250  divmul13 4267  recgt0i 4385  ltmul2 4395  lemul1 4397  times2 4491  crmult 4530  binom 4712  discrlem1 4713  sqrlem10 4740  sqrlem11 4741  sqrlem16 4746  cjre 4811  cjmulrcl 4821  abscj 4844  sqabsadd 4847  hvmulcom 5021  normlem3 5065  bcseq 5073  bcs 5101  h1de2 5458

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-c 4034  df-mul 4040

metamath.org