Theorem mulcompq 3858

Description: Multiplication of positive fractions is commutative.

Hypotheses

Ref	Expression
mulcompq.1	⊢ A ∈ V
mulcompq.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mulcompq	⊢ (A ·Q B) = (B ·Q A)

Proof of Theorem mulcompq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 3832	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		mulpipq 3849	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨(x ·N z), (y ·N w)⟩] ~Q )
3		mulpipq 3849	. . 3 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (x ∈ N ∧ y ∈ N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = [⟨(z ·N x), (w ·N y)⟩] ~Q )
4		visset 1350	. . . 4 ⊢ x ∈ V
5		visset 1350	. . . 4 ⊢ z ∈ V
6	4, 5	mulcompi 3818	. . 3 ⊢ (x ·N z) = (z ·N x)
7		visset 1350	. . . 4 ⊢ y ∈ V
8		visset 1350	. . . 4 ⊢ w ∈ V
9	7, 8	mulcompi 3818	. . 3 ⊢ (y ·N w) = (w ·N y)
10	1, 2, 3, 6, 9	ecoprcom 3255	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A ·Q B) = (B ·Q A))
11		mulcompq.2	. . 3 ⊢ B ∈ V
12		dmmulpq 3855	. . 3 ⊢ dom ·Q = (Q × Q)
13		mulcompq.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
14	11, 12, 13	ndmoprcom 3061	. 2 ⊢ (¬ (A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A ·Q B) = (B ·Q A))
15	10, 14	pm2.61i 110	1 ⊢ (A ·Q B) = (B ·Q A)

Syntax hints:   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  (class class class)co 3001  Ncnpi 3766   ·_N cmi 3768   ~_Q ceq 3772  Qcnq 3773   ·_Q cmq 3776

This theorem is referenced by:  recmulpq 3864  recrecpq 3867  ltrpq 3879  1pr 3911  addclprlem1 3912  addclprlem2 3913  mulclprlem 3915  mulclpr 3916  mulcompr 3919  distrlem4pr 3924  1idpr 3927  prlem934a 3931  prlem936a 3947  prlem936 3949  reclem3pr 3952  reclem4pr 3953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-mq 3834

metamath.org