Theorem mulcompr 3919

Description: Multiplication of positive reals is commutative. Proposition 9-3.7(ii) of [Gleason] p. 124.

Hypotheses

Ref	Expression
mulcompr.1	⊢ A ∈ V
mulcompr.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mulcompr	⊢ (A ·P B) = (B ·P A)

Proof of Theorem mulcompr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpv 3908	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (A ·P B) = {x∣∃y∃z((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ x = (y ·Q z))})
2		mpv 3908	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ P ∧ A ∈ P) → (B ·P A) = {x∣∃z∃y((z ∈ B ∧ y ∈ A) ∧ x = (z ·Q y))})
3		ancom 333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ∈ B ∧ y ∈ A) ↔ (y ∈ A ∧ z ∈ B))
4		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ z ∈ V
5		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ y ∈ V
6	4, 5	mulcompq 3858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ·Q y) = (y ·Q z)
7	6	cleq2i 1111	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = (z ·Q y) ↔ x = (y ·Q z))
8	3, 7	anbi12i 369	. . . . . . . 8 ⊢ (((z ∈ B ∧ y ∈ A) ∧ x = (z ·Q y)) ↔ ((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ x = (y ·Q z)))
9	8	bi2ex 734	. . . . . . 7 ⊢ (∃z∃y((z ∈ B ∧ y ∈ A) ∧ x = (z ·Q y)) ↔ ∃z∃y((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ x = (y ·Q z)))
10		excom 728	. . . . . . 7 ⊢ (∃z∃y((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ x = (y ·Q z)) ↔ ∃y∃z((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ x = (y ·Q z)))
11	9, 10	bitr 151	. . . . . 6 ⊢ (∃z∃y((z ∈ B ∧ y ∈ A) ∧ x = (z ·Q y)) ↔ ∃y∃z((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ x = (y ·Q z)))
12	11	biabi 1181	. . . . 5 ⊢ {x∣∃z∃y((z ∈ B ∧ y ∈ A) ∧ x = (z ·Q y))} = {x∣∃y∃z((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ x = (y ·Q z))}
13	2, 12	syl6eq 1140	. . . 4 ⊢ ((B ∈ P ∧ A ∈ P) → (B ·P A) = {x∣∃y∃z((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ x = (y ·Q z))})
14	13	ancoms 334	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (B ·P A) = {x∣∃y∃z((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ x = (y ·Q z))})
15	1, 14	eqtr4d 1131	. 2 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (A ·P B) = (B ·P A))
16		mulcompr.2	. . 3 ⊢ B ∈ V
17		dmmp 3910	. . 3 ⊢ dom ·P = (P × P)
18		mulcompr.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
19	16, 17, 18	ndmoprcom 3061	. 2 ⊢ (¬ (A ∈ P ∧ B ∈ P) → (A ·P B) = (B ·P A))
20	15, 19	pm2.61i 110	1 ⊢ (A ·P B) = (B ·P A)

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  (class class class)co 3001   ·_Q cmq 3776  Pcnp 3779   ·_P cmp 3782

This theorem is referenced by:  mulcmpblnrlem 3976  mulcomsr 3992  mulasssr 3993  m1m1sr 3996  recexsrlem 4006  mulgt0sr 4008

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-mq 3834  df-mp 3883

metamath.org