Theorem mulcomsr 3992

Description: Multiplication of signed reals is commutative.

Hypotheses

Ref	Expression
mulcomsr.1	⊢ A ∈ V
mulcomsr.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mulcomsr	⊢ (A ·R B) = (B ·R A)

Proof of Theorem mulcomsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 3961	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		mulsrpr 3979	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R )
3		mulsrpr 3979	. . 3 ⊢ (((z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (x ∈ P ∧ y ∈ P)) → ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨x, y⟩] ~R ) = [⟨((z ·P x) +P (w ·P y)), ((z ·P y) +P (w ·P x))⟩] ~R )
4		visset 1350	. . . . 5 ⊢ x ∈ V
5		visset 1350	. . . . 5 ⊢ z ∈ V
6	4, 5	mulcompr 3919	. . . 4 ⊢ (x ·P z) = (z ·P x)
7		visset 1350	. . . . 5 ⊢ y ∈ V
8		visset 1350	. . . . 5 ⊢ w ∈ V
9	7, 8	mulcompr 3919	. . . 4 ⊢ (y ·P w) = (w ·P y)
10	6, 9	opreq12i 3011	. . 3 ⊢ ((x ·P z) +P (y ·P w)) = ((z ·P x) +P (w ·P y))
11	4, 8	mulcompr 3919	. . . . 5 ⊢ (x ·P w) = (w ·P x)
12	7, 5	mulcompr 3919	. . . . 5 ⊢ (y ·P z) = (z ·P y)
13	11, 12	opreq12i 3011	. . . 4 ⊢ ((x ·P w) +P (y ·P z)) = ((w ·P x) +P (z ·P y))
14		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (w ·P x) ∈ V
15		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (z ·P y) ∈ V
16	14, 15	addcompr 3917	. . . 4 ⊢ ((w ·P x) +P (z ·P y)) = ((z ·P y) +P (w ·P x))
17	13, 16	eqtr 1119	. . 3 ⊢ ((x ·P w) +P (y ·P z)) = ((z ·P y) +P (w ·P x))
18	1, 2, 3, 10, 17	ecoprcom 3255	. 2 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → (A ·R B) = (B ·R A))
19		mulcomsr.2	. . 3 ⊢ B ∈ V
20		dmmulsr 3989	. . 3 ⊢ dom ·R = (R × R)
21		mulcomsr.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
22	19, 20, 21	ndmoprcom 3061	. 2 ⊢ (¬ (A ∈ R ∧ B ∈ R) → (A ·R B) = (B ·R A))
23	18, 22	pm2.61i 110	1 ⊢ (A ·R B) = (B ·R A)

Syntax hints:   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  (class class class)co 3001  Pcnp 3779   +_P cpp 3781   ·_P cmp 3782   ~_R cer 3786  Rcnr 3787   ·_R cmr 3792

This theorem is referenced by:  sqgt0sr 4009  mulresr 4051  axmulcom 4071  axmulass 4073  axrecex 4079

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-mr 3963

metamath.org