Theorem mulresr 4051

Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals.

Hypothesis

Ref	Expression
mulresr.1	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mulresr	⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → (⟨A, 0R⟩ · ⟨B, 0R⟩) = ⟨(A ·R B), 0R⟩)

Proof of Theorem mulresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 3983	. . . 4 ⊢ 0R ∈ R
2	1, 1	pm3.2i 234	. . 3 ⊢ (0R ∈ R ∧ 0R ∈ R)
3		mulcnsr 4048	. . . 4 ⊢ (((A ∈ R ∧ 0R ∈ R) ∧ (B ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (⟨A, 0R⟩ · ⟨B, 0R⟩) = ⟨((A ·R B) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R B) +R (A ·R 0R))⟩)
4	3	an4s 390	. . 3 ⊢ (((A ∈ R ∧ B ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (⟨A, 0R⟩ · ⟨B, 0R⟩) = ⟨((A ·R B) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R B) +R (A ·R 0R))⟩)
5	2, 4	mpan2 519	. 2 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → (⟨A, 0R⟩ · ⟨B, 0R⟩) = ⟨((A ·R B) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R B) +R (A ·R 0R))⟩)
6		opeq12 1878	. . 3 ⊢ ((((A ·R B) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = (A ·R B) ∧ ((0R ·R B) +R (A ·R 0R)) = 0R) → ⟨((A ·R B) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R B) +R (A ·R 0R))⟩ = ⟨(A ·R B), 0R⟩)
7		mulclsr 3987	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → (A ·R B) ∈ R)
8		0idsr 4000	. . . . 5 ⊢ ((A ·R B) ∈ R → ((A ·R B) +R 0R) = (A ·R B))
9	7, 8	syl 12	. . . 4 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → ((A ·R B) +R 0R) = (A ·R B))
10		00sr 4002	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
11	1, 10	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
12	11	opreq2i 3010	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R (0R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
13		m1r 3985	. . . . . . 7 ⊢ -1R ∈ R
14		00sr 4002	. . . . . . 7 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 0R) = 0R)
15	13, 14	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R 0R) = 0R
16	12, 15	eqtr 1119	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (0R ·R 0R)) = 0R
17	16	opreq2i 3010	. . . 4 ⊢ ((A ·R B) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = ((A ·R B) +R 0R)
18	9, 17	syl5eq 1136	. . 3 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → ((A ·R B) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = (A ·R B))
19		00sr 4002	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ R → (B ·R 0R) = 0R)
20	1	elisseti 1355	. . . . . . 7 ⊢ 0R ∈ V
21		mulresr.1	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ V
22	20, 21	mulcomsr 3992	. . . . . 6 ⊢ (0R ·R B) = (B ·R 0R)
23	19, 22	syl5eq 1136	. . . . 5 ⊢ (B ∈ R → (0R ·R B) = 0R)
24		00sr 4002	. . . . 5 ⊢ (A ∈ R → (A ·R 0R) = 0R)
25	23, 24	opreqan12rd 3016	. . . 4 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → ((0R ·R B) +R (A ·R 0R)) = (0R +R 0R))
26		0idsr 4000	. . . . 5 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
27	1, 26	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
28	25, 27	syl6eq 1140	. . 3 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → ((0R ·R B) +R (A ·R 0R)) = 0R)
29	6, 18, 28	sylanc 361	. 2 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → ⟨((A ·R B) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R B) +R (A ·R 0R))⟩ = ⟨(A ·R B), 0R⟩)
30	5, 29	eqtrd 1128	1 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → (⟨A, 0R⟩ · ⟨B, 0R⟩) = ⟨(A ·R B), 0R⟩)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788  -1_Rcm1r 3790   +_R cplr 3791   ·_R cmr 3792   · cmulc 4032

This theorem is referenced by:  axmulrcl 4069  axrrecex 4081  axmulgt0 4086

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-m1r 3967  df-c 4034  df-mul 4040

metamath.org