Theorem nalset 1482

Description: No set contains all sets. Theorem 41 of [Suppes] p. 30.

Assertion

Ref	Expression
nalset	⊢ ¬ ∃x∀y y ∈ x

Distinct variable group(s):   x,y

Proof of Theorem nalset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alexn 726	. 2 ⊢ (∀x∃y ¬ y ∈ x ↔ ¬ ∃x∀y y ∈ x)
2		visset 1350	. . . 4 ⊢ x ∈ V
3	2	zfaus 1480	. . 3 ⊢ ∃y∀z(z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ ¬ z ∈ z))
4		a13b 819	. . . . . . 7 ⊢ (z = y → (z ∈ y ↔ y ∈ y))
5		a13b 819	. . . . . . . 8 ⊢ (z = y → (z ∈ x ↔ y ∈ x))
6		a13b 819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = y → (z ∈ z ↔ y ∈ z))
7		a14b 820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = y → (y ∈ z ↔ y ∈ y))
8	6, 7	bitrd 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = y → (z ∈ z ↔ y ∈ y))
9	8	negbid 463	. . . . . . . 8 ⊢ (z = y → (¬ z ∈ z ↔ ¬ y ∈ y))
10	5, 9	anbi12d 476	. . . . . . 7 ⊢ (z = y → ((z ∈ x ∧ ¬ z ∈ z) ↔ (y ∈ x ∧ ¬ y ∈ y)))
11	4, 10	bibi12d 477	. . . . . 6 ⊢ (z = y → ((z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ ¬ z ∈ z)) ↔ (y ∈ y ↔ (y ∈ x ∧ ¬ y ∈ y))))
12	11	a4b1 928	. . . . 5 ⊢ (∀z(z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ ¬ z ∈ z)) → (y ∈ y ↔ (y ∈ x ∧ ¬ y ∈ y)))
13		pclem6 555	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ y ↔ (y ∈ x ∧ ¬ y ∈ y)) → ¬ y ∈ x)
14	12, 13	syl 12	. . . 4 ⊢ (∀z(z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ ¬ z ∈ z)) → ¬ y ∈ x)
15	14	19.22i 723	. . 3 ⊢ (∃y∀z(z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ ¬ z ∈ z)) → ∃y ¬ y ∈ x)
16	3, 15	ax-mp 6	. 2 ⊢ ∃y ¬ y ∈ x
17	1, 16	mpgbi 685	1 ⊢ ¬ ∃x∀y y ∈ x

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803

This theorem is referenced by:  nvelv 1483  kmlem2 3581

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349

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