Theorem nd1 3732

Description: Lemma for proving conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
nd1	⊢ (∀x x = y → ¬ ∀x y ∈ z)

Proof of Theorem nd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eirrv 3449	. . 3 ⊢ ¬ z ∈ z
2		stdpc4 869	. . . 4 ⊢ (∀y y ∈ z → [z / y]y ∈ z)
3	1	pm2.21i 73	. . . . 5 ⊢ (z ∈ z → ∀y z ∈ z)
4		a13b 819	. . . . 5 ⊢ (y = z → (y ∈ z ↔ z ∈ z))
5	3, 4	sbie 904	. . . 4 ⊢ ([z / y]y ∈ z ↔ z ∈ z)
6	2, 5	sylib 173	. . 3 ⊢ (∀y y ∈ z → z ∈ z)
7	1, 6	mto 93	. 2 ⊢ ¬ ∀y y ∈ z
8		ax-10 800	. 2 ⊢ (∀x x = y → (∀x y ∈ z → ∀y y ∈ z))
9	7, 8	mtoi 94	1 ⊢ (∀x x = y → ¬ ∀x y ∈ z)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2  ∀wal 672   = weq 797   ∈ wel 803  [wsb 852

This theorem is referenced by:  axrepnd 3740  axinfndlem1 3751  axinfnd 3752  axacndlem1 3753  axacndlem2 3754

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

metamath.org