Theorem nd3 3734

Description: Lemma for proving conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
nd3	⊢ (∀x x = y → ¬ ∀z x ∈ y)

Proof of Theorem nd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-4 673	. 2 ⊢ (∀x x = y → x = y)
2		eirrv 3449	. . 3 ⊢ ¬ x ∈ x
3		a14b 820	. . 3 ⊢ (x = y → (x ∈ x ↔ x ∈ y))
4	2, 3	mtbii 538	. 2 ⊢ (x = y → ¬ x ∈ y)
5		ax-4 673	. . 3 ⊢ (∀z x ∈ y → x ∈ y)
6	5	con3i 90	. 2 ⊢ (¬ x ∈ y → ¬ ∀z x ∈ y)
7	1, 4, 6	3syl 21	1 ⊢ (∀x x = y → ¬ ∀z x ∈ y)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2  ∀wal 672   = weq 797   ∈ wel 803

This theorem is referenced by:  nd4 3735  axrepnd 3740  axpowndlem3 3745  axinfnd 3752  axacndlem3 3755  axacnd 3758

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

metamath.org