Theorem ndmoprcom 3061

Description: Any operation is commutative outside its domain.

Hypotheses

Ref	Expression
ndmopr.1	⊢ B ∈ V
ndmopr.2	⊢ dom F = (S × S)
ndmopr.3	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ndmoprcom	⊢ (¬ (A ∈ S ∧ B ∈ S) → (AFB) = (BFA))

Proof of Theorem ndmoprcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmopr.1	. . 3 ⊢ B ∈ V
2		ndmopr.2	. . 3 ⊢ dom F = (S × S)
3	1, 2	ndmopr 3059	. 2 ⊢ (¬ (A ∈ S ∧ B ∈ S) → (AFB) = ∅)
4		ancom 333	. . . 4 ⊢ ((A ∈ S ∧ B ∈ S) ↔ (B ∈ S ∧ A ∈ S))
5	4	negbii 162	. . 3 ⊢ (¬ (A ∈ S ∧ B ∈ S) ↔ ¬ (B ∈ S ∧ A ∈ S))
6		ndmopr.3	. . . 4 ⊢ A ∈ V
7	6, 2	ndmopr 3059	. . 3 ⊢ (¬ (B ∈ S ∧ A ∈ S) → (BFA) = ∅)
8	5, 7	sylbi 174	. 2 ⊢ (¬ (A ∈ S ∧ B ∈ S) → (BFA) = ∅)
9	3, 8	eqtr4d 1131	1 ⊢ (¬ (A ∈ S ∧ B ∈ S) → (AFB) = (BFA))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ∅c0 1707   × cxp 2408  dom cdm 2410  (class class class)co 3001

This theorem is referenced by:  addcompi 3816  mulcompi 3818  addcompq 3856  mulcompq 3858  addcompr 3917  mulcompr 3919  addcomsr 3990  mulcomsr 3992

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003

metamath.org