Theorem ndmoprrcl 3060

Description: Reverse closure law, when an operation's domain doesn't contain the empty set.

Hypotheses

Ref	Expression
ndmopr.1	⊢ B ∈ V
ndmopr.2	⊢ dom F = (S × S)
ndmoprrcl.3	⊢ ¬ ∅ ∈ S

Assertion

Ref	Expression
ndmoprrcl	⊢ ((AFB) ∈ S → (A ∈ S ∧ B ∈ S))

Proof of Theorem ndmoprrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmoprrcl.3	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ S
2		ndmopr.1	. . . . 5 ⊢ B ∈ V
3		ndmopr.2	. . . . 5 ⊢ dom F = (S × S)
4	2, 3	ndmopr 3059	. . . 4 ⊢ (¬ (A ∈ S ∧ B ∈ S) → (AFB) = ∅)
5	4	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ (¬ (A ∈ S ∧ B ∈ S) → ((AFB) ∈ S ↔ ∅ ∈ S))
6	1, 5	mtbiri 539	. 2 ⊢ (¬ (A ∈ S ∧ B ∈ S) → ¬ (AFB) ∈ S)
7	6	a3i 69	1 ⊢ ((AFB) ∈ S → (A ∈ S ∧ B ∈ S))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ∅c0 1707   × cxp 2408  dom cdm 2410  (class class class)co 3001

This theorem is referenced by:  ndmoprass 3062  ndmoprdistr 3063  ndmord 3064  ndmordi 3065  caoprmo 3084  brecop2 3243  eceqopreq 3249  mulcanpi 3821  recclpq 3866  ltexpq 3874  ltexpq2 3875  nsmallpq 3877  ltbtwnpq 3878  ltaddpr 3934  ltaddpr2 3935  ltexprlem2 3937  ltexprlem3 3938  ltexprlem4 3939  ltexprlem6 3941  ltexprlem7 3942  ltexpri 3943  addcanpr 3946  recexpr 3954  recexsrlem 4006  mappsrpr 4012  supsrlem1 4019

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003

metamath.org