Theorem ndmord 3064

Description: Elimination of redundant antecedents in an ordering law.

Hypotheses

Ref	Expression
ndmopr.1	⊢ B ∈ V
ndmopr.2	⊢ dom F = (S × S)
ndmord.3	⊢ A ∈ V
ndmord.4	⊢ R ⊆ (S × S)
ndmord.5	⊢ ¬ ∅ ∈ S
ndmord.6	⊢ ((A ∈ S ∧ B ∈ S ∧ C ∈ S) → (ARB ↔ (CFA)R(CFB)))

Assertion

Ref	Expression
ndmord	⊢ (C ∈ S → (ARB ↔ (CFA)R(CFB)))

Proof of Theorem ndmord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmord.6	. . . 4 ⊢ ((A ∈ S ∧ B ∈ S ∧ C ∈ S) → (ARB ↔ (CFA)R(CFB)))
2	1	3exp 611	. . 3 ⊢ (A ∈ S → (B ∈ S → (C ∈ S → (ARB ↔ (CFA)R(CFB)))))
3	2	imp 277	. 2 ⊢ ((A ∈ S ∧ B ∈ S) → (C ∈ S → (ARB ↔ (CFA)R(CFB))))
4		ndmopr.1	. . . . 5 ⊢ B ∈ V
5		ndmord.4	. . . . 5 ⊢ R ⊆ (S × S)
6	4, 5	brel 2459	. . . 4 ⊢ (ARB → (A ∈ S ∧ B ∈ S))
7		oprex 3018	. . . . . 6 ⊢ (CFB) ∈ V
8	7, 5	brel 2459	. . . . 5 ⊢ ((CFA)R(CFB) → ((CFA) ∈ S ∧ (CFB) ∈ S))
9		ndmord.3	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ V
10		ndmopr.2	. . . . . . . 8 ⊢ dom F = (S × S)
11		ndmord.5	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∅ ∈ S
12	9, 10, 11	ndmoprrcl 3060	. . . . . . 7 ⊢ ((CFA) ∈ S → (C ∈ S ∧ A ∈ S))
13	12	pm3.27d 262	. . . . . 6 ⊢ ((CFA) ∈ S → A ∈ S)
14	4, 10, 11	ndmoprrcl 3060	. . . . . . 7 ⊢ ((CFB) ∈ S → (C ∈ S ∧ B ∈ S))
15	14	pm3.27d 262	. . . . . 6 ⊢ ((CFB) ∈ S → B ∈ S)
16	13, 15	anim12i 268	. . . . 5 ⊢ (((CFA) ∈ S ∧ (CFB) ∈ S) → (A ∈ S ∧ B ∈ S))
17	8, 16	syl 12	. . . 4 ⊢ ((CFA)R(CFB) → (A ∈ S ∧ B ∈ S))
18	6, 17	pm5.21ni 503	. . 3 ⊢ (¬ (A ∈ S ∧ B ∈ S) → (ARB ↔ (CFA)R(CFB)))
19	18	a1d 14	. 2 ⊢ (¬ (A ∈ S ∧ B ∈ S) → (C ∈ S → (ARB ↔ (CFA)R(CFB))))
20	3, 19	pm2.61i 110	1 ⊢ (C ∈ S → (ARB ↔ (CFA)R(CFB)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707   class class class wbr 2054   × cxp 2408  dom cdm 2410  (class class class)co 3001

This theorem is referenced by:  ltapi 3824  ltmpi 3825  ltapq 3870  ltmpq 3871  ltapr 3945  ltasr 4003

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003

metamath.org