Theorem nlimsuc 2363

Description: A successor is not a limit ordinal.

Hypothesis

Ref	Expression
nlimsuc.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
nlimsuc	⊢ ¬ Lim suc A

Proof of Theorem nlimsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 2318	. . . . 5 ⊢ (Ord A ↔ Ord suc A)
2		ordeirr 2217	. . . . 5 ⊢ (Ord suc A → ¬ suc A ∈ suc A)
3	1, 2	sylbi 174	. . . 4 ⊢ (Ord A → ¬ suc A ∈ suc A)
4		eleq1 1149	. . . . . 6 ⊢ (suc A = ∪suc A → (suc A ∈ suc A ↔ ∪suc A ∈ suc A))
5		nlimsuc.1	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ V
6	5	sucid 2304	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ suc A
7		ordtr 2213	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord A → Tr A)
8	5	unisuc 2299	. . . . . . . . 9 ⊢ (Tr A ↔ ∪suc A = A)
9	7, 8	sylib 173	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord A → ∪suc A = A)
10	9	eleq1d 1155	. . . . . . 7 ⊢ (Ord A → (∪suc A ∈ suc A ↔ A ∈ suc A))
11	6, 10	mpbiri 169	. . . . . 6 ⊢ (Ord A → ∪suc A ∈ suc A)
12	4, 11	syl5bir 184	. . . . 5 ⊢ (suc A = ∪suc A → (Ord A → suc A ∈ suc A))
13	12	com12 13	. . . 4 ⊢ (Ord A → (suc A = ∪suc A → suc A ∈ suc A))
14	3, 13	mtod 95	. . 3 ⊢ (Ord A → ¬ suc A = ∪suc A)
15		limuni 2284	. . 3 ⊢ (Lim suc A → suc A = ∪suc A)
16	14, 15	nsyl 102	. 2 ⊢ (Ord A → ¬ Lim suc A)
17		3simp1 594	. . . 4 ⊢ ((Ord suc A ∧ ¬ suc A = ∅ ∧ suc A = ∪suc A) → Ord suc A)
18		df-lim 2204	. . . 4 ⊢ (Lim suc A ↔ (Ord suc A ∧ ¬ suc A = ∅ ∧ suc A = ∪suc A))
19	17, 18, 1	3imtr4 192	. . 3 ⊢ (Lim suc A → Ord A)
20	19	con3i 90	. 2 ⊢ (¬ Ord A → ¬ Lim suc A)
21	16, 20	pm2.61i 110	1 ⊢ ¬ Lim suc A

Syntax hints:  ¬ wn 1   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ∅c0 1707  ∪cuni 1919  Tr wtr 2041  Ord word 2198  Lim wlim 2200  suc csuc 2201

This theorem is referenced by:  tz7.44-2 2967

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205

metamath.org