Theorem nn0opthlem1 4722

Description: A rather pretty lemma for nn0opth 4724. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-02.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthlem1.1	⊢ A ∈ ℕ0
nn0opthlem1.2	⊢ C ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem1	⊢ (A < C ↔ ((A · A) + (2 · A)) < (C · C))

Proof of Theorem nn0opthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthlem1.1	. . . 4 ⊢ A ∈ ℕ0
2		1nn0 4547	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0addcl 4552	. . 3 ⊢ (A + 1) ∈ ℕ0
4		nn0opthlem1.2	. . 3 ⊢ C ∈ ℕ0
5	3, 4	nn0le2sqet 4721	. 2 ⊢ ((A + 1) ≤ C ↔ ((A + 1) · (A + 1)) ≤ (C · C))
6		nn0ltp1let 4556	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℕ0 ∧ C ∈ ℕ0) → (A < C ↔ (A + 1) ≤ C))
7	1, 4, 6	mp2an 520	. 2 ⊢ (A < C ↔ (A + 1) ≤ C)
8	1, 1	nn0mulcl 4553	. . . . 5 ⊢ (A · A) ∈ ℕ0
9		2nn0 4548	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10	9, 1	nn0mulcl 4553	. . . . 5 ⊢ (2 · A) ∈ ℕ0
11	8, 10	nn0addcl 4552	. . . 4 ⊢ ((A · A) + (2 · A)) ∈ ℕ0
12	4, 4	nn0mulcl 4553	. . . 4 ⊢ (C · C) ∈ ℕ0
13		nn0ltp1let 4556	. . . 4 ⊢ ((((A · A) + (2 · A)) ∈ ℕ0 ∧ (C · C) ∈ ℕ0) → (((A · A) + (2 · A)) < (C · C) ↔ (((A · A) + (2 · A)) + 1) ≤ (C · C)))
14	11, 12, 13	mp2an 520	. . 3 ⊢ (((A · A) + (2 · A)) < (C · C) ↔ (((A · A) + (2 · A)) + 1) ≤ (C · C))
15	1	nn0cn 4545	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ ℂ
16		1cn 4101	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	15, 16	binom 4712	. . . . . 6 ⊢ ((A + 1)↑2) = (((A↑2) + (2 · (A · 1))) + (1↑2))
18	15, 16	addcl 4104	. . . . . . 7 ⊢ (A + 1) ∈ ℂ
19	18	sqval 4685	. . . . . 6 ⊢ ((A + 1)↑2) = ((A + 1) · (A + 1))
20	15	sqval 4685	. . . . . . . 8 ⊢ (A↑2) = (A · A)
21	20	opreq1i 3009	. . . . . . 7 ⊢ ((A↑2) + (2 · (A · 1))) = ((A · A) + (2 · (A · 1)))
22	16	sqval 4685	. . . . . . 7 ⊢ (1↑2) = (1 · 1)
23	21, 22	opreq12i 3011	. . . . . 6 ⊢ (((A↑2) + (2 · (A · 1))) + (1↑2)) = (((A · A) + (2 · (A · 1))) + (1 · 1))
24	17, 19, 23	3eqtr3 1124	. . . . 5 ⊢ ((A + 1) · (A + 1)) = (((A · A) + (2 · (A · 1))) + (1 · 1))
25	15	mulid1 4114	. . . . . . . 8 ⊢ (A · 1) = A
26	25	opreq2i 3010	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (A · 1)) = (2 · A)
27	26	opreq2i 3010	. . . . . 6 ⊢ ((A · A) + (2 · (A · 1))) = ((A · A) + (2 · A))
28	16	mulid1 4114	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
29	27, 28	opreq12i 3011	. . . . 5 ⊢ (((A · A) + (2 · (A · 1))) + (1 · 1)) = (((A · A) + (2 · A)) + 1)
30	24, 29	eqtr 1119	. . . 4 ⊢ ((A + 1) · (A + 1)) = (((A · A) + (2 · A)) + 1)
31	30	breq1i 2068	. . 3 ⊢ (((A + 1) · (A + 1)) ≤ (C · C) ↔ (((A · A) + (2 · A)) + 1) ≤ (C · C))
32	14, 31	bitr4 154	. 2 ⊢ (((A · A) + (2 · A)) < (C · C) ↔ ((A + 1) · (A + 1)) ≤ (C · C))
33	5, 7, 32	3bitr4 158	1 ⊢ (A < C ↔ ((A · A) + (2 · A)) < (C · C))

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   ≤ cle 4092  ℕ₀cn0 4094  2c2 4454  ↑cexp 4675

This theorem is referenced by:  nn0opthlem2 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676

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