Theorem nnacom 3175

Description: Addition of natural numbers is commutative. Theorem 4K(2) of [Enderton] p. 81.

Assertion

Ref	Expression
nnacom	⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A +o B) = (B +o A))

Proof of Theorem nnacom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3006	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (x +o B) = (∅ +o B))
2		opreq2 3007	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (B +o x) = (B +o ∅))
3	1, 2	cleq12d 1115	. . . 4 ⊢ (x = ∅ → ((x +o B) = (B +o x) ↔ (∅ +o B) = (B +o ∅)))
4	3	imbi2d 464	. . 3 ⊢ (x = ∅ → ((B ∈ ω → (x +o B) = (B +o x)) ↔ (B ∈ ω → (∅ +o B) = (B +o ∅))))
5		opreq1 3006	. . . . 5 ⊢ (x = y → (x +o B) = (y +o B))
6		opreq2 3007	. . . . 5 ⊢ (x = y → (B +o x) = (B +o y))
7	5, 6	cleq12d 1115	. . . 4 ⊢ (x = y → ((x +o B) = (B +o x) ↔ (y +o B) = (B +o y)))
8	7	imbi2d 464	. . 3 ⊢ (x = y → ((B ∈ ω → (x +o B) = (B +o x)) ↔ (B ∈ ω → (y +o B) = (B +o y))))
9		opreq1 3006	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → (x +o B) = (suc y +o B))
10		opreq2 3007	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → (B +o x) = (B +o suc y))
11	9, 10	cleq12d 1115	. . . 4 ⊢ (x = suc y → ((x +o B) = (B +o x) ↔ (suc y +o B) = (B +o suc y)))
12	11	imbi2d 464	. . 3 ⊢ (x = suc y → ((B ∈ ω → (x +o B) = (B +o x)) ↔ (B ∈ ω → (suc y +o B) = (B +o suc y))))
13		opreq1 3006	. . . . 5 ⊢ (x = A → (x +o B) = (A +o B))
14		opreq2 3007	. . . . 5 ⊢ (x = A → (B +o x) = (B +o A))
15	13, 14	cleq12d 1115	. . . 4 ⊢ (x = A → ((x +o B) = (B +o x) ↔ (A +o B) = (B +o A)))
16	15	imbi2d 464	. . 3 ⊢ (x = A → ((B ∈ ω → (x +o B) = (B +o x)) ↔ (B ∈ ω → (A +o B) = (B +o A))))
17		nna0r 3170	. . . 4 ⊢ (B ∈ ω → (∅ +o B) = B)
18		nna0 3166	. . . 4 ⊢ (B ∈ ω → (B +o ∅) = B)
19	17, 18	eqtr4d 1131	. . 3 ⊢ (B ∈ ω → (∅ +o B) = (B +o ∅))
20		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = ∅ → (suc y +o x) = (suc y +o ∅))
21		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = ∅ → (y +o x) = (y +o ∅))
22		suceq 2288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y +o x) = (y +o ∅) → suc (y +o x) = suc (y +o ∅))
23	21, 22	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = ∅ → suc (y +o x) = suc (y +o ∅))
24	20, 23	cleq12d 1115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = ∅ → ((suc y +o x) = suc (y +o x) ↔ (suc y +o ∅) = suc (y +o ∅)))
25	24	imbi2d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = ∅ → ((y ∈ ω → (suc y +o x) = suc (y +o x)) ↔ (y ∈ ω → (suc y +o ∅) = suc (y +o ∅))))
26		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = z → (suc y +o x) = (suc y +o z))
27		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = z → (y +o x) = (y +o z))
28		suceq 2288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y +o x) = (y +o z) → suc (y +o x) = suc (y +o z))
29	27, 28	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = z → suc (y +o x) = suc (y +o z))
30	26, 29	cleq12d 1115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = z → ((suc y +o x) = suc (y +o x) ↔ (suc y +o z) = suc (y +o z)))
31	30	imbi2d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = z → ((y ∈ ω → (suc y +o x) = suc (y +o x)) ↔ (y ∈ ω → (suc y +o z) = suc (y +o z))))
32		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = suc z → (suc y +o x) = (suc y +o suc z))
33		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = suc z → (y +o x) = (y +o suc z))
34		suceq 2288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y +o x) = (y +o suc z) → suc (y +o x) = suc (y +o suc z))
35	33, 34	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = suc z → suc (y +o x) = suc (y +o suc z))
36	32, 35	cleq12d 1115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = suc z → ((suc y +o x) = suc (y +o x) ↔ (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z)))
37	36	imbi2d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = suc z → ((y ∈ ω → (suc y +o x) = suc (y +o x)) ↔ (y ∈ ω → (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z))))
38		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = B → (suc y +o x) = (suc y +o B))
39		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = B → (y +o x) = (y +o B))
40		suceq 2288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y +o x) = (y +o B) → suc (y +o x) = suc (y +o B))
41	39, 40	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = B → suc (y +o x) = suc (y +o B))
42	38, 41	cleq12d 1115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = B → ((suc y +o x) = suc (y +o x) ↔ (suc y +o B) = suc (y +o B)))
43	42	imbi2d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = B → ((y ∈ ω → (suc y +o x) = suc (y +o x)) ↔ (y ∈ ω → (suc y +o B) = suc (y +o B))))
44		peano2b 2388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ω ↔ suc y ∈ ω)
45		nna0 3166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (suc y ∈ ω → (suc y +o ∅) = suc y)
46	44, 45	sylbi 174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ ω → (suc y +o ∅) = suc y)
47		nna0 3166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ω → (y +o ∅) = y)
48		suceq 2288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y +o ∅) = y → suc (y +o ∅) = suc y)
49	47, 48	syl 12	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ ω → suc (y +o ∅) = suc y)
50	46, 49	eqtr4d 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ ω → (suc y +o ∅) = suc (y +o ∅))
51		oasuc 3131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((suc y ∈ On ∧ z ∈ On) → (suc y +o suc z) = suc (suc y +o z))
52		nnont 2379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y ∈ ω → y ∈ On)
53		suceloni 2314	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y ∈ On → suc y ∈ On)
54	52, 53	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y ∈ ω → suc y ∈ On)
55		nnont 2379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z ∈ ω → z ∈ On)
56	51, 54, 55	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y ∈ ω ∧ z ∈ ω) → (suc y +o suc z) = suc (suc y +o z))
57	52, 55	anim12i 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y ∈ ω ∧ z ∈ ω) → (y ∈ On ∧ z ∈ On))
58		oasuc 3131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y ∈ On ∧ z ∈ On) → (y +o suc z) = suc (y +o z))
59		suceq 2288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y +o suc z) = suc (y +o z) → suc (y +o suc z) = suc suc (y +o z))
60	57, 58, 59	3syl 21	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y ∈ ω ∧ z ∈ ω) → suc (y +o suc z) = suc suc (y +o z))
61	56, 60	cleq12d 1115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ ω ∧ z ∈ ω) → ((suc y +o suc z) = suc (y +o suc z) ↔ suc (suc y +o z) = suc suc (y +o z)))
62		suceq 2288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((suc y +o z) = suc (y +o z) → suc (suc y +o z) = suc suc (y +o z))
63	61, 62	syl5bir 184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ω ∧ z ∈ ω) → ((suc y +o z) = suc (y +o z) → (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z)))
64	63	exp 291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ω → (z ∈ ω → ((suc y +o z) = suc (y +o z) → (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z))))
65	64	com12 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z ∈ ω → (y ∈ ω → ((suc y +o z) = suc (y +o z) → (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z))))
66	65	a2d 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ∈ ω → ((y ∈ ω → (suc y +o z) = suc (y +o z)) → (y ∈ ω → (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z))))
67	25, 31, 37, 43, 50, 66	finds 2397	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ ω → (y ∈ ω → (suc y +o B) = suc (y +o B)))
68	67	imp 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (suc y +o B) = suc (y +o B))
69		nnasuc 3168	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (B +o suc y) = suc (B +o y))
70	68, 69	cleq12d 1115	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((suc y +o B) = (B +o suc y) ↔ suc (y +o B) = suc (B +o y)))
71		suceq 2288	. . . . . . 7 ⊢ ((y +o B) = (B +o y) → suc (y +o B) = suc (B +o y))
72	70, 71	syl5bir 184	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((y +o B) = (B +o y) → (suc y +o B) = (B +o suc y)))
73	72	exp 291	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ω → (y ∈ ω → ((y +o B) = (B +o y) → (suc y +o B) = (B +o suc y))))
74	73	com12 13	. . . 4 ⊢ (y ∈ ω → (B ∈ ω → ((y +o B) = (B +o y) → (suc y +o B) = (B +o suc y))))
75	74	a2d 15	. . 3 ⊢ (y ∈ ω → ((B ∈ ω → (y +o B) = (B +o y)) → (B ∈ ω → (suc y +o B) = (B +o suc y))))
76	4, 8, 12, 16, 19, 75	finds 2397	. 2 ⊢ (A ∈ ω → (B ∈ ω → (A +o B) = (B +o A)))
77	76	imp 277	1 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A +o B) = (B +o A))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∅c0 1707  Oncon0 2199  suc csuc 2201  ωcom 2372  (class class class)co 3001   +_o coa 3101

This theorem is referenced by:  nnaordr 3178  nnmsucr 3182  nnaword2 3187  addcompi 3816

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106

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