Theorem nnaddclt 4436

Description: Closure of addition of natural numbers, proved by induction on the second addend.

Assertion

Ref	Expression
nnaddclt	⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (A + B) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnaddclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (x = 1 → (A + x) = (A + 1))
2	1	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (x = 1 → ((A + x) ∈ ℕ ↔ (A + 1) ∈ ℕ))
3	2	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ (x = 1 → ((A ∈ ℕ → (A + x) ∈ ℕ) ↔ (A ∈ ℕ → (A + 1) ∈ ℕ)))
4		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (A + x) = (A + y))
5	4	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (x = y → ((A + x) ∈ ℕ ↔ (A + y) ∈ ℕ))
6	5	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ (x = y → ((A ∈ ℕ → (A + x) ∈ ℕ) ↔ (A ∈ ℕ → (A + y) ∈ ℕ)))
7		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (x = (y + 1) → (A + x) = (A + (y + 1)))
8	7	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (x = (y + 1) → ((A + x) ∈ ℕ ↔ (A + (y + 1)) ∈ ℕ))
9	8	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ (x = (y + 1) → ((A ∈ ℕ → (A + x) ∈ ℕ) ↔ (A ∈ ℕ → (A + (y + 1)) ∈ ℕ)))
10		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (x = B → (A + x) = (A + B))
11	10	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (x = B → ((A + x) ∈ ℕ ↔ (A + B) ∈ ℕ))
12	11	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ (x = B → ((A ∈ ℕ → (A + x) ∈ ℕ) ↔ (A ∈ ℕ → (A + B) ∈ ℕ)))
13		peano2nn 4433	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℕ → (A + 1) ∈ ℕ)
14		1cn 4101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		axaddass 4072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((A + y) + 1) = (A + (y + 1)))
16	14, 15	mp3an3 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → ((A + y) + 1) = (A + (y + 1)))
17		nncnt 4428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ ℕ → A ∈ ℂ)
18		nncnt 4428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℂ)
19	16, 17, 18	syl2an 349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → ((A + y) + 1) = (A + (y + 1)))
20	19	eleq1d 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → (((A + y) + 1) ∈ ℕ ↔ (A + (y + 1)) ∈ ℕ))
21		peano2nn 4433	. . . . . . . 8 ⊢ ((A + y) ∈ ℕ → ((A + y) + 1) ∈ ℕ)
22	20, 21	syl5bi 183	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → ((A + y) ∈ ℕ → (A + (y + 1)) ∈ ℕ))
23	22	exp 291	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℕ → (y ∈ ℕ → ((A + y) ∈ ℕ → (A + (y + 1)) ∈ ℕ)))
24	23	com12 13	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℕ → (A ∈ ℕ → ((A + y) ∈ ℕ → (A + (y + 1)) ∈ ℕ)))
25	24	a2d 15	. . . 4 ⊢ (y ∈ ℕ → ((A ∈ ℕ → (A + y) ∈ ℕ) → (A ∈ ℕ → (A + (y + 1)) ∈ ℕ)))
26	3, 6, 9, 12, 13, 25	nnind 4434	. . 3 ⊢ (B ∈ ℕ → (A ∈ ℕ → (A + B) ∈ ℕ))
27	26	com12 13	. 2 ⊢ (A ∈ ℕ → (B ∈ ℕ → (A + B) ∈ ℕ))
28	27	imp 277	1 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (A + B) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  1c1 4029   + caddc 4031  ℕcn 4093

This theorem is referenced by:  nnmulclt 4437  nnaddm1clt 4452  2nn 4487  nn0addclt 4551  expaddt 4698  ruclem30 4914  ruclem31 4915  ruclem32 4916  xpnnen 4927

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-0r 3965  df-1r 3966  df-c 4034  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-n 4423

metamath.org