Theorem nnaddm1clt 4452

Description: Closure of addition of natural numbers minus one.

Assertion

Ref	Expression
nnaddm1clt	⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → ((A + B) − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnaddm1clt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1re 4064	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2	1, 1	readdcl 4118	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
3		ltletrt 4290	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 + 1) ∈ ℝ ∧ (A + B) ∈ ℝ) → ((1 < (1 + 1) ∧ (1 + 1) ≤ (A + B)) → 1 < (A + B)))
4	2, 3	mp3an2 640	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (A + B) ∈ ℝ) → ((1 < (1 + 1) ∧ (1 + 1) ≤ (A + B)) → 1 < (A + B)))
5	1, 4	mpan 518	. . 3 ⊢ ((A + B) ∈ ℝ → ((1 < (1 + 1) ∧ (1 + 1) ≤ (A + B)) → 1 < (A + B)))
6		axaddrcl 4067	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A + B) ∈ ℝ)
7		nnret 4427	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℕ → A ∈ ℝ)
8		nnret 4427	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℕ → B ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	syl2an 349	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (A + B) ∈ ℝ)
10		letrt 4291	. . . . . 6 ⊢ (((1 + 1) ∈ ℝ ∧ (1 + B) ∈ ℝ ∧ (A + B) ∈ ℝ) → (((1 + 1) ≤ (1 + B) ∧ (1 + B) ≤ (A + B)) → (1 + 1) ≤ (A + B)))
11	2, 10	mp3an1 639	. . . . 5 ⊢ (((1 + B) ∈ ℝ ∧ (A + B) ∈ ℝ) → (((1 + 1) ≤ (1 + B) ∧ (1 + B) ≤ (A + B)) → (1 + 1) ≤ (A + B)))
12		axaddrcl 4067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (1 + B) ∈ ℝ)
13	1, 12	mpan 518	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℝ → (1 + B) ∈ ℝ)
14	8, 13	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ ℕ → (1 + B) ∈ ℝ)
15	14	adantl 305	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (1 + B) ∈ ℝ)
16	15, 9	jca 236	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → ((1 + B) ∈ ℝ ∧ (A + B) ∈ ℝ))
17		nnge1t 4439	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℕ → 1 ≤ B)
18	17	adantl 305	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → 1 ≤ B)
19	8	adantl 305	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → B ∈ ℝ)
20		leadd2t 4351	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ≤ B ↔ (1 + 1) ≤ (1 + B)))
21	1, 20	mp3an1 639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ≤ B ↔ (1 + 1) ≤ (1 + B)))
22	1, 21	mpan2 519	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℝ → (1 ≤ B ↔ (1 + 1) ≤ (1 + B)))
23	19, 22	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (1 ≤ B ↔ (1 + 1) ≤ (1 + B)))
24	18, 23	mpbid 170	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (1 + 1) ≤ (1 + B))
25		nnge1t 4439	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℕ → 1 ≤ A)
26	25	adantr 306	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → 1 ≤ A)
27		leadd1t 4350	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (1 ≤ A ↔ (1 + B) ≤ (A + B)))
28	1, 27	mp3an1 639	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (1 ≤ A ↔ (1 + B) ≤ (A + B)))
29	28, 7, 8	syl2an 349	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (1 ≤ A ↔ (1 + B) ≤ (A + B)))
30	26, 29	mpbid 170	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (1 + B) ≤ (A + B))
31	24, 30	jca 236	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → ((1 + 1) ≤ (1 + B) ∧ (1 + B) ≤ (A + B)))
32	11, 16, 31	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (1 + 1) ≤ (A + B))
33	1	ltplus1 4384	. . . 4 ⊢ 1 < (1 + 1)
34	32, 33	jctil 240	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (1 < (1 + 1) ∧ (1 + 1) ≤ (A + B)))
35	5, 9, 34	sylc 62	. 2 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → 1 < (A + B))
36		nnaddclt 4436	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (A + B) ∈ ℕ)
37		1nn 4432	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
38		nnsubt 4451	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (A + B) ∈ ℕ) → (1 < (A + B) ↔ ((A + B) − 1) ∈ ℕ))
39	37, 38	mpan 518	. . 3 ⊢ ((A + B) ∈ ℕ → (1 < (A + B) ↔ ((A + B) − 1) ∈ ℕ))
40	36, 39	syl 12	. 2 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (1 < (A + B) ↔ ((A + B) − 1) ∈ ℕ))
41	35, 40	mpbid 170	1 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → ((A + B) − 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   − cmin 4089   ≤ cle 4092  ℕcn 4093

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423

metamath.org