Theorem nndi 3180

Description: Distributive law for natural numbers. (This can be extended to all ordinals with a longer proof.) Theorem 4K(3) of [Enderton] p. 81.

Assertion

Ref	Expression
nndi	⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ C ∈ ω) → (A ·o (B +o C)) = ((A ·o B) +o (A ·o C)))

Proof of Theorem nndi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = ∅ → (B +o x) = (B +o ∅))
2	1	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = ∅ → (A ·o (B +o x)) = (A ·o (B +o ∅)))
3		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = ∅ → (A ·o x) = (A ·o ∅))
4	3	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = ∅ → ((A ·o B) +o (A ·o x)) = ((A ·o B) +o (A ·o ∅)))
5	2, 4	cleq12d 1115	. . . . . 6 ⊢ (x = ∅ → ((A ·o (B +o x)) = ((A ·o B) +o (A ·o x)) ↔ (A ·o (B +o ∅)) = ((A ·o B) +o (A ·o ∅))))
6	5	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o (B +o x)) = ((A ·o B) +o (A ·o x))) ↔ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o (B +o ∅)) = ((A ·o B) +o (A ·o ∅)))))
7		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = y → (B +o x) = (B +o y))
8	7	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → (A ·o (B +o x)) = (A ·o (B +o y)))
9		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = y → (A ·o x) = (A ·o y))
10	9	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → ((A ·o B) +o (A ·o x)) = ((A ·o B) +o (A ·o y)))
11	8, 10	cleq12d 1115	. . . . . 6 ⊢ (x = y → ((A ·o (B +o x)) = ((A ·o B) +o (A ·o x)) ↔ (A ·o (B +o y)) = ((A ·o B) +o (A ·o y))))
12	11	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (x = y → (((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o (B +o x)) = ((A ·o B) +o (A ·o x))) ↔ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o (B +o y)) = ((A ·o B) +o (A ·o y)))))
13		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = suc y → (B +o x) = (B +o suc y))
14	13	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = suc y → (A ·o (B +o x)) = (A ·o (B +o suc y)))
15		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = suc y → (A ·o x) = (A ·o suc y))
16	15	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = suc y → ((A ·o B) +o (A ·o x)) = ((A ·o B) +o (A ·o suc y)))
17	14, 16	cleq12d 1115	. . . . . 6 ⊢ (x = suc y → ((A ·o (B +o x)) = ((A ·o B) +o (A ·o x)) ↔ (A ·o (B +o suc y)) = ((A ·o B) +o (A ·o suc y))))
18	17	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → (((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o (B +o x)) = ((A ·o B) +o (A ·o x))) ↔ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o (B +o suc y)) = ((A ·o B) +o (A ·o suc y)))))
19		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = C → (B +o x) = (B +o C))
20	19	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = C → (A ·o (B +o x)) = (A ·o (B +o C)))
21		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = C → (A ·o x) = (A ·o C))
22	21	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = C → ((A ·o B) +o (A ·o x)) = ((A ·o B) +o (A ·o C)))
23	20, 22	cleq12d 1115	. . . . . 6 ⊢ (x = C → ((A ·o (B +o x)) = ((A ·o B) +o (A ·o x)) ↔ (A ·o (B +o C)) = ((A ·o B) +o (A ·o C))))
24	23	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (x = C → (((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o (B +o x)) = ((A ·o B) +o (A ·o x))) ↔ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o (B +o C)) = ((A ·o B) +o (A ·o C)))))
25		nnmcl 3173	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o B) ∈ ω)
26		nna0 3166	. . . . . . 7 ⊢ ((A ·o B) ∈ ω → ((A ·o B) +o ∅) = (A ·o B))
27	25, 26	syl 12	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((A ·o B) +o ∅) = (A ·o B))
28		pm3.26 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → A ∈ ω)
29		nnont 2379	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ω → A ∈ On)
30		om0 3125	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ On → (A ·o ∅) = ∅)
31	28, 29, 30	3syl 21	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o ∅) = ∅)
32	31	opreq2d 3013	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((A ·o B) +o (A ·o ∅)) = ((A ·o B) +o ∅))
33		nna0 3166	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ω → (B +o ∅) = B)
34	33	adantl 305	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (B +o ∅) = B)
35	34	opreq2d 3013	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o (B +o ∅)) = (A ·o B))
36	27, 32, 35	3eqtr4rd 1135	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o (B +o ∅)) = ((A ·o B) +o (A ·o ∅)))
37		nnasuc 3168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (B +o suc y) = suc (B +o y))
38	37	3adant1 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (B +o suc y) = suc (B +o y))
39	38	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (A ·o (B +o suc y)) = (A ·o suc (B +o y)))
40		nnmsuc 3169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ ω ∧ (B +o y) ∈ ω) → (A ·o suc (B +o y)) = ((A ·o (B +o y)) +o A))
41		nnacl 3172	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (B +o y) ∈ ω)
42	40, 41	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ω ∧ (B ∈ ω ∧ y ∈ ω)) → (A ·o suc (B +o y)) = ((A ·o (B +o y)) +o A))
43	42	3impb 610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (A ·o suc (B +o y)) = ((A ·o (B +o y)) +o A))
44	39, 43	eqtrd 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (A ·o (B +o suc y)) = ((A ·o (B +o y)) +o A))
45		nnmsuc 3169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (A ·o suc y) = ((A ·o y) +o A))
46	45	3adant2 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (A ·o suc y) = ((A ·o y) +o A))
47	46	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((A ·o B) +o (A ·o suc y)) = ((A ·o B) +o ((A ·o y) +o A)))
48		nnaass 3179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((A ·o B) ∈ ω ∧ (A ·o y) ∈ ω ∧ A ∈ ω) → (((A ·o B) +o (A ·o y)) +o A) = ((A ·o B) +o ((A ·o y) +o A)))
49	48, 25	syl3an1 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) ∧ (A ·o y) ∈ ω ∧ A ∈ ω) → (((A ·o B) +o (A ·o y)) +o A) = ((A ·o B) +o ((A ·o y) +o A)))
50		nnmcl 3173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (A ·o y) ∈ ω)
51	49, 50	syl3an2 620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) ∧ (A ∈ ω ∧ y ∈ ω) ∧ A ∈ ω) → (((A ·o B) +o (A ·o y)) +o A) = ((A ·o B) +o ((A ·o y) +o A)))
52	51	3exp 611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (A ∈ ω → (((A ·o B) +o (A ·o y)) +o A) = ((A ·o B) +o ((A ·o y) +o A)))))
53	52	exp4b 296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (A ∈ ω → (B ∈ ω → (A ∈ ω → (y ∈ ω → (A ∈ ω → (((A ·o B) +o (A ·o y)) +o A) = ((A ·o B) +o ((A ·o y) +o A)))))))
54	53	pm2.43a 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (A ∈ ω → (B ∈ ω → (y ∈ ω → (A ∈ ω → (((A ·o B) +o (A ·o y)) +o A) = ((A ·o B) +o ((A ·o y) +o A))))))
55	54	com4r 41	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∈ ω → (A ∈ ω → (B ∈ ω → (y ∈ ω → (((A ·o B) +o (A ·o y)) +o A) = ((A ·o B) +o ((A ·o y) +o A))))))
56	55	pm2.43i 58	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ ω → (B ∈ ω → (y ∈ ω → (((A ·o B) +o (A ·o y)) +o A) = ((A ·o B) +o ((A ·o y) +o A)))))
57	56	3imp 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (((A ·o B) +o (A ·o y)) +o A) = ((A ·o B) +o ((A ·o y) +o A)))
58	47, 57	eqtr4d 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((A ·o B) +o (A ·o suc y)) = (((A ·o B) +o (A ·o y)) +o A))
59	44, 58	cleq12d 1115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((A ·o (B +o suc y)) = ((A ·o B) +o (A ·o suc y)) ↔ ((A ·o (B +o y)) +o A) = (((A ·o B) +o (A ·o y)) +o A)))
60		opreq1 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ·o (B +o y)) = ((A ·o B) +o (A ·o y)) → ((A ·o (B +o y)) +o A) = (((A ·o B) +o (A ·o y)) +o A))
61	59, 60	syl5bir 184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((A ·o (B +o y)) = ((A ·o B) +o (A ·o y)) → (A ·o (B +o suc y)) = ((A ·o B) +o (A ·o suc y))))
62	61	3exp 611	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ω → (B ∈ ω → (y ∈ ω → ((A ·o (B +o y)) = ((A ·o B) +o (A ·o y)) → (A ·o (B +o suc y)) = ((A ·o B) +o (A ·o suc y))))))
63	62	com3r 35	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ω → (A ∈ ω → (B ∈ ω → ((A ·o (B +o y)) = ((A ·o B) +o (A ·o y)) → (A ·o (B +o suc y)) = ((A ·o B) +o (A ·o suc y))))))
64	63	imp3a 279	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ω → ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((A ·o (B +o y)) = ((A ·o B) +o (A ·o y)) → (A ·o (B +o suc y)) = ((A ·o B) +o (A ·o suc y)))))
65	64	a2d 15	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ω → (((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o (B +o y)) = ((A ·o B) +o (A ·o y))) → ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o (B +o suc y)) = ((A ·o B) +o (A ·o suc y)))))
66	6, 12, 18, 24, 36, 65	finds 2397	. . . 4 ⊢ (C ∈ ω → ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o (B +o C)) = ((A ·o B) +o (A ·o C))))
67	66	exp3a 292	. . 3 ⊢ (C ∈ ω → (A ∈ ω → (B ∈ ω → (A ·o (B +o C)) = ((A ·o B) +o (A ·o C)))))
68	67	com3l 34	. 2 ⊢ (A ∈ ω → (B ∈ ω → (C ∈ ω → (A ·o (B +o C)) = ((A ·o B) +o (A ·o C)))))
69	68	3imp 608	1 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ C ∈ ω) → (A ·o (B +o C)) = ((A ·o B) +o (A ·o C)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∅c0 1707  Oncon0 2199  suc csuc 2201  ωcom 2372  (class class class)co 3001   +_o coa 3101   ·_o comu 3102

This theorem is referenced by:  nnmass 3181  distrpi 3820

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107

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