Theorem nndiv 4453

Description: Two ways to express "A divides B" for natural numbers.

Assertion

Ref	Expression
nndiv	⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (∃x ∈ ℕ (A · x) = B ↔ (B / A) ∈ ℕ))

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem nndiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0t 4444	. . 3 ⊢ (A ∈ ℕ → A ≠ 0)
2	1	adantr 306	. 2 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → A ≠ 0)
3		divcan3t 4251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ) ∧ A ≠ 0) → ((A · x) / A) = x)
4	3	exp31 293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∈ ℂ → (x ∈ ℂ → (A ≠ 0 → ((A · x) / A) = x)))
5		nncnt 4428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ℕ → x ∈ ℂ)
6	4, 5	syl5 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ ℂ → (x ∈ ℕ → (A ≠ 0 → ((A · x) / A) = x)))
7	6	com23 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ ℂ → (A ≠ 0 → (x ∈ ℕ → ((A · x) / A) = x)))
8	7	a1d 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℂ → (B ∈ ℂ → (A ≠ 0 → (x ∈ ℕ → ((A · x) / A) = x))))
9	8	imp41 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ A ≠ 0) ∧ x ∈ ℕ) → ((A · x) / A) = x)
10	9	cleqcomd 1106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ A ≠ 0) ∧ x ∈ ℕ) → x = ((A · x) / A))
11		opreq1 3006	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A · x) = B → ((A · x) / A) = (B / A))
12	10, 11	sylan9eq 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ A ≠ 0) ∧ x ∈ ℕ) ∧ (A · x) = B) → x = (B / A))
13		pm3.26 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ A ≠ 0) ∧ x ∈ ℕ) ∧ (A · x) = B) → (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ A ≠ 0) ∧ x ∈ ℕ))
14	13	pm3.27d 262	. . . . . . . 8 ⊢ (((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ A ≠ 0) ∧ x ∈ ℕ) ∧ (A · x) = B) → x ∈ ℕ)
15	12, 14	eqeltrrd 1164	. . . . . . 7 ⊢ (((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ A ≠ 0) ∧ x ∈ ℕ) ∧ (A · x) = B) → (B / A) ∈ ℕ)
16	15	exp31 293	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ A ≠ 0) → (x ∈ ℕ → ((A · x) = B → (B / A) ∈ ℕ)))
17	16	r19.23adv 1286	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ A ≠ 0) → (∃x ∈ ℕ (A · x) = B → (B / A) ∈ ℕ))
18		opreq2 3007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (B / A) → (A · x) = (A · (B / A)))
19	18	cleq1d 1109	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = (B / A) → ((A · x) = B ↔ (A · (B / A)) = B))
20	19	rcla4ev 1403	. . . . . . . 8 ⊢ (((B / A) ∈ ℕ ∧ (A · (B / A)) = B) → ∃x ∈ ℕ (A · x) = B)
21		divcan2t 4229	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ A ≠ 0) → (A · (B / A)) = B)
22	20, 21	sylan2 346	. . . . . . 7 ⊢ (((B / A) ∈ ℕ ∧ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ A ≠ 0)) → ∃x ∈ ℕ (A · x) = B)
23	22	exp 291	. . . . . 6 ⊢ ((B / A) ∈ ℕ → (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ A ≠ 0) → ∃x ∈ ℕ (A · x) = B))
24	23	com12 13	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ A ≠ 0) → ((B / A) ∈ ℕ → ∃x ∈ ℕ (A · x) = B))
25	17, 24	impbid 397	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ A ≠ 0) → (∃x ∈ ℕ (A · x) = B ↔ (B / A) ∈ ℕ))
26	25	exp 291	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A ≠ 0 → (∃x ∈ ℕ (A · x) = B ↔ (B / A) ∈ ℕ)))
27		nncnt 4428	. . 3 ⊢ (A ∈ ℕ → A ∈ ℂ)
28		nncnt 4428	. . 3 ⊢ (B ∈ ℕ → B ∈ ℂ)
29	26, 27, 28	syl2an 349	. 2 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (A ≠ 0 → (∃x ∈ ℕ (A · x) = B ↔ (B / A) ∈ ℕ)))
30	2, 29	mpd 46	1 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (∃x ∈ ℕ (A · x) = B ↔ (B / A) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∃wrex 1202  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028   · cmulc 4032   / cdiv 4091  ℕcn 4093

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423

metamath.org