Theorem nndomo 3416

Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146.

Assertion

Ref	Expression
nndomo	⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ≼ B ↔ A ⊆ B))

Proof of Theorem nndomo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php2 3410	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ⊂ A) → B ≺ A)
2	1	exp 291	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ω → (B ⊂ A → B ≺ A))
3		domnsym 3365	. . . . 5 ⊢ (A ≼ B → ¬ B ≺ A)
4	2, 3	nsyli 106	. . . 4 ⊢ (A ∈ ω → (A ≼ B → ¬ B ⊂ A))
5	4	adantr 306	. . 3 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ≼ B → ¬ B ⊂ A))
6		ordtri1 2231	. . . . 5 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ⊆ B ↔ ¬ B ∈ A))
7		ordelpss 2226	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord B ∧ Ord A) → (B ∈ A ↔ B ⊂ A))
8	7	ancoms 334	. . . . . 6 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (B ∈ A ↔ B ⊂ A))
9	8	negbid 463	. . . . 5 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (¬ B ∈ A ↔ ¬ B ⊂ A))
10	6, 9	bitrd 406	. . . 4 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ⊆ B ↔ ¬ B ⊂ A))
11		nnord 2381	. . . 4 ⊢ (A ∈ ω → Ord A)
12		nnord 2381	. . . 4 ⊢ (B ∈ ω → Ord B)
13	10, 11, 12	syl2an 349	. . 3 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ⊆ B ↔ ¬ B ⊂ A))
14	5, 13	sylibrd 179	. 2 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ≼ B → A ⊆ B))
15		ssdomg 3311	. . 3 ⊢ (A ∈ ω → (A ⊆ B → A ≼ B))
16	15	adantr 306	. 2 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ⊆ B → A ≼ B))
17	14, 16	impbid 397	1 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ≼ B ↔ A ⊆ B))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488   class class class wbr 2054  Ord word 2198  ωcom 2372   ≼ cdom 3272   ≺ csdm 3273

This theorem is referenced by:  nnsdomo 3417  omsucdom 3418

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org