Theorem nneneq 3408

Description: Two equinumerous natural numbers are equal. Proposition 10.20 of [TakeutiZaring] p. 90 and its converse. Also compare Corollary 6E of [Enderton] p. 136.

Assertion

Ref	Expression
nneneq	⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ≈ B ↔ A = B))

Proof of Theorem nneneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2065	. . . . . . 7 ⊢ (x = ∅ → (x ≈ z ↔ ∅ ≈ z))
2		cleq1 1107	. . . . . . 7 ⊢ (x = ∅ → (x = z ↔ ∅ = z))
3	1, 2	imbi12d 474	. . . . . 6 ⊢ (x = ∅ → ((x ≈ z → x = z) ↔ (∅ ≈ z → ∅ = z)))
4	3	biraldv 1219	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (∀z ∈ ω (x ≈ z → x = z) ↔ ∀z ∈ ω (∅ ≈ z → ∅ = z)))
5		breq1 2065	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → (x ≈ z ↔ y ≈ z))
6		cleq1 1107	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → (x = z ↔ y = z))
7	5, 6	imbi12d 474	. . . . . 6 ⊢ (x = y → ((x ≈ z → x = z) ↔ (y ≈ z → y = z)))
8	7	biraldv 1219	. . . . 5 ⊢ (x = y → (∀z ∈ ω (x ≈ z → x = z) ↔ ∀z ∈ ω (y ≈ z → y = z)))
9		breq1 2065	. . . . . . 7 ⊢ (x = suc y → (x ≈ z ↔ suc y ≈ z))
10		cleq1 1107	. . . . . . 7 ⊢ (x = suc y → (x = z ↔ suc y = z))
11	9, 10	imbi12d 474	. . . . . 6 ⊢ (x = suc y → ((x ≈ z → x = z) ↔ (suc y ≈ z → suc y = z)))
12	11	biraldv 1219	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → (∀z ∈ ω (x ≈ z → x = z) ↔ ∀z ∈ ω (suc y ≈ z → suc y = z)))
13		breq1 2065	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (x ≈ z ↔ A ≈ z))
14		cleq1 1107	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (x = z ↔ A = z))
15	13, 14	imbi12d 474	. . . . . 6 ⊢ (x = A → ((x ≈ z → x = z) ↔ (A ≈ z → A = z)))
16	15	biraldv 1219	. . . . 5 ⊢ (x = A → (∀z ∈ ω (x ≈ z → x = z) ↔ ∀z ∈ ω (A ≈ z → A = z)))
17		0ex 1745	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
18		visset 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ z ∈ V
19		ener 3313	. . . . . . . . 9 ⊢ Er ≈
20	17, 18, 19	ersym 3209	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≈ z → z ≈ ∅)
21		en0 3328	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ≈ ∅ ↔ z = ∅)
22		cleqcom 1103	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = ∅ ↔ ∅ = z)
23	21, 22	bitr 151	. . . . . . . 8 ⊢ (z ≈ ∅ ↔ ∅ = z)
24	20, 23	sylib 173	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≈ z → ∅ = z)
25	24	a1i 7	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ ω → (∅ ≈ z → ∅ = z))
26	25	rgen 1247	. . . . 5 ⊢ ∀z ∈ ω (∅ ≈ z → ∅ = z)
27		en0 3328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc y ≈ ∅ ↔ suc y = ∅)
28		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = ∅ → (suc y ≈ w ↔ suc y ≈ ∅))
29		cleq2 1110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = ∅ → (suc y = w ↔ suc y = ∅))
30	28, 29	bibi12d 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w = ∅ → ((suc y ≈ w ↔ suc y = w) ↔ (suc y ≈ ∅ ↔ suc y = ∅)))
31	27, 30	mpbiri 169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w = ∅ → (suc y ≈ w ↔ suc y = w))
32	31	biimpd 135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = ∅ → (suc y ≈ w → suc y = w))
33	32	a1i 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ω ∧ ∀z ∈ ω (y ≈ z → y = z)) → (w = ∅ → (suc y ≈ w → suc y = w)))
34		ax-17 925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ω → ∀z y ∈ ω)
35		hbra1 1237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀z ∈ ω (y ≈ z → y = z) → ∀z∀z ∈ ω (y ≈ z → y = z))
36	34, 35	hban 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ ω ∧ ∀z ∈ ω (y ≈ z → y = z)) → ∀z(y ∈ ω ∧ ∀z ∈ ω (y ≈ z → y = z)))
37		ax-17 925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((suc y ≈ w → suc y = w) → ∀z(suc y ≈ w → suc y = w))
38		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ y ∈ V
39	38, 18	phplem5 3407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((y ∈ ω ∧ z ∈ ω) → (suc y ≈ suc z → y ≈ z))
40	39	syl4d 28	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((y ∈ ω ∧ z ∈ ω) → ((y ≈ z → y = z) → (suc y ≈ suc z → y = z)))
41	40	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y ∈ ω → (z ∈ ω → ((y ≈ z → y = z) → (suc y ≈ suc z → y = z))))
42	41	a2d 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ ω → ((z ∈ ω → (y ≈ z → y = z)) → (z ∈ ω → (suc y ≈ suc z → y = z))))
43		ra4 1243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀z ∈ ω (y ≈ z → y = z) → (z ∈ ω → (y ≈ z → y = z)))
44	42, 43	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ ω → (∀z ∈ ω (y ≈ z → y = z) → (z ∈ ω → (suc y ≈ suc z → y = z))))
45	44	imp 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ω ∧ ∀z ∈ ω (y ≈ z → y = z)) → (z ∈ ω → (suc y ≈ suc z → y = z)))
46		suceq 2288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y = z → suc y = suc z)
47	45, 46	syl8 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ ω ∧ ∀z ∈ ω (y ≈ z → y = z)) → (z ∈ ω → (suc y ≈ suc z → suc y = suc z)))
48		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = suc z → (suc y ≈ w ↔ suc y ≈ suc z))
49		cleq2 1110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = suc z → (suc y = w ↔ suc y = suc z))
50	48, 49	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w = suc z → ((suc y ≈ w → suc y = w) ↔ (suc y ≈ suc z → suc y = suc z)))
51	50	biimprcd 138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((suc y ≈ suc z → suc y = suc z) → (w = suc z → (suc y ≈ w → suc y = w)))
52	47, 51	syl6 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ ω ∧ ∀z ∈ ω (y ≈ z → y = z)) → (z ∈ ω → (w = suc z → (suc y ≈ w → suc y = w))))
53	36, 37, 52	r19.23ad 1285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ω ∧ ∀z ∈ ω (y ≈ z → y = z)) → (∃z ∈ ω w = suc z → (suc y ≈ w → suc y = w)))
54	33, 53	jaod 329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ ω ∧ ∀z ∈ ω (y ≈ z → y = z)) → ((w = ∅ ∨ ∃z ∈ ω w = suc z) → (suc y ≈ w → suc y = w)))
55	54	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ω → (∀z ∈ ω (y ≈ z → y = z) → ((w = ∅ ∨ ∃z ∈ ω w = suc z) → (suc y ≈ w → suc y = w))))
56		nn0suc 2395	. . . . . . . 8 ⊢ (w ∈ ω → (w = ∅ ∨ ∃z ∈ ω w = suc z))
57	55, 56	syl7 24	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ω → (∀z ∈ ω (y ≈ z → y = z) → (w ∈ ω → (suc y ≈ w → suc y = w))))
58	57	r19.21adv 1262	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ω → (∀z ∈ ω (y ≈ z → y = z) → ∀w ∈ ω (suc y ≈ w → suc y = w)))
59		breq2 2066	. . . . . . . 8 ⊢ (w = z → (suc y ≈ w ↔ suc y ≈ z))
60		cleq2 1110	. . . . . . . 8 ⊢ (w = z → (suc y = w ↔ suc y = z))
61	59, 60	imbi12d 474	. . . . . . 7 ⊢ (w = z → ((suc y ≈ w → suc y = w) ↔ (suc y ≈ z → suc y = z)))
62	61	cbvralv 1333	. . . . . 6 ⊢ (∀w ∈ ω (suc y ≈ w → suc y = w) ↔ ∀z ∈ ω (suc y ≈ z → suc y = z))
63	58, 62	syl6ib 185	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ω → (∀z ∈ ω (y ≈ z → y = z) → ∀z ∈ ω (suc y ≈ z → suc y = z)))
64	4, 8, 12, 16, 26, 63	finds 2397	. . . 4 ⊢ (A ∈ ω → ∀z ∈ ω (A ≈ z → A = z))
65		breq2 2066	. . . . . 6 ⊢ (z = B → (A ≈ z ↔ A ≈ B))
66		cleq2 1110	. . . . . 6 ⊢ (z = B → (A = z ↔ A = B))
67	65, 66	imbi12d 474	. . . . 5 ⊢ (z = B → ((A ≈ z → A = z) ↔ (A ≈ B → A = B)))
68	67	rcla4v 1402	. . . 4 ⊢ (∀z ∈ ω (A ≈ z → A = z) → (B ∈ ω → (A ≈ B → A = B)))
69	64, 68	syl 12	. . 3 ⊢ (A ∈ ω → (B ∈ ω → (A ≈ B → A = B)))
70	69	imp 277	. 2 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ≈ B → A = B))
71		eqeng 3296	. . 3 ⊢ (A ∈ ω → (A = B → A ≈ B))
72	71	adantr 306	. 2 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A = B → A ≈ B))
73	70, 72	impbid 397	1 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ≈ B ↔ A = B))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  suc csuc 2201  ωcom 2372   ≈ cen 3271

This theorem is referenced by:  php 3409  onomeneq 3414  nnsdomo 3417

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274

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