Theorem nnesq 4720

Description: A natural number is even iff its square is even.

Hypothesis

Ref	Expression
nnsqcl.1	⊢ A ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
nnesq	⊢ ((A / 2) ∈ ℕ ↔ ((A↑2) / 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnesq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmulclt 4437	. . . 4 ⊢ (((A / 2) ∈ ℕ ∧ (A / 2) ∈ ℕ) → ((A / 2) · (A / 2)) ∈ ℕ)
2	1	anidms 332	. . 3 ⊢ ((A / 2) ∈ ℕ → ((A / 2) · (A / 2)) ∈ ℕ)
3		2nn 4487	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		nnmulclt 4437	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ((A / 2) · (A / 2)) ∈ ℕ) → (2 · ((A / 2) · (A / 2))) ∈ ℕ)
5	3, 4	mpan 518	. . . 4 ⊢ (((A / 2) · (A / 2)) ∈ ℕ → (2 · ((A / 2) · (A / 2))) ∈ ℕ)
6		2cn 4471	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
7		nnsqcl.1	. . . . . . . . 9 ⊢ A ∈ ℕ
8	7	nncn 4430	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ ℂ
9		2re 4470	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
10		2pos 4479	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
11	9, 10	gt0ne0i 4345	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
12	8, 6, 11	divcl 4221	. . . . . . 7 ⊢ (A / 2) ∈ ℂ
13	6, 12, 12	mulass 4109	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (A / 2)) · (A / 2)) = (2 · ((A / 2) · (A / 2)))
14	8, 8, 6, 11	divass 4242	. . . . . . 7 ⊢ ((A · A) / 2) = (A · (A / 2))
15	8	sqval 4685	. . . . . . . 8 ⊢ (A↑2) = (A · A)
16	15	opreq1i 3009	. . . . . . 7 ⊢ ((A↑2) / 2) = ((A · A) / 2)
17	6, 8, 11	divcan2 4224	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (A / 2)) = A
18	17	opreq1i 3009	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (A / 2)) · (A / 2)) = (A · (A / 2))
19	14, 16, 18	3eqtr4r 1127	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (A / 2)) · (A / 2)) = ((A↑2) / 2)
20	13, 19	eqtr3 1121	. . . . 5 ⊢ (2 · ((A / 2) · (A / 2))) = ((A↑2) / 2)
21	20	eleq1i 1152	. . . 4 ⊢ ((2 · ((A / 2) · (A / 2))) ∈ ℕ ↔ ((A↑2) / 2) ∈ ℕ)
22	5, 21	sylib 173	. . 3 ⊢ (((A / 2) · (A / 2)) ∈ ℕ → ((A↑2) / 2) ∈ ℕ)
23	2, 22	syl 12	. 2 ⊢ ((A / 2) ∈ ℕ → ((A↑2) / 2) ∈ ℕ)
24		nnmulclt 4437	. . . . . 6 ⊢ ((((A + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ ((A + 1) / 2) ∈ ℕ) → (((A + 1) / 2) · ((A + 1) / 2)) ∈ ℕ)
25	24	anidms 332	. . . . 5 ⊢ (((A + 1) / 2) ∈ ℕ → (((A + 1) / 2) · ((A + 1) / 2)) ∈ ℕ)
26		nnmulclt 4437	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (((A + 1) / 2) · ((A + 1) / 2)) ∈ ℕ) → (2 · (((A + 1) / 2) · ((A + 1) / 2))) ∈ ℕ)
27	3, 26	mpan 518	. . . . 5 ⊢ ((((A + 1) / 2) · ((A + 1) / 2)) ∈ ℕ → (2 · (((A + 1) / 2) · ((A + 1) / 2))) ∈ ℕ)
28		1cn 4101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
29	8, 28	addcl 4104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A + 1) ∈ ℂ
30	6, 29, 11	divcan2 4224	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · ((A + 1) / 2)) = (A + 1)
31	30	opreq1i 3009	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · ((A + 1) / 2)) · ((A + 1) / 2)) = ((A + 1) · ((A + 1) / 2))
32	29, 6, 11	divcl 4221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A + 1) / 2) ∈ ℂ
33	6, 32, 32	mulass 4109	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · ((A + 1) / 2)) · ((A + 1) / 2)) = (2 · (((A + 1) / 2) · ((A + 1) / 2)))
34	29, 29, 6, 11	divass 4242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A + 1) · (A + 1)) / 2) = ((A + 1) · ((A + 1) / 2))
35	29	sqval 4685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A + 1)↑2) = ((A + 1) · (A + 1))
36	8, 28	binom 4712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A + 1)↑2) = (((A↑2) + (2 · (A · 1))) + (1↑2))
37	8	mulid1 4114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (A · 1) = A
38	37	opreq2i 3010	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · (A · 1)) = (2 · A)
39	38	opreq2i 3010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A↑2) + (2 · (A · 1))) = ((A↑2) + (2 · A))
40		sq1 4709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1↑2) = 1
41	39, 40	opreq12i 3011	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A↑2) + (2 · (A · 1))) + (1↑2)) = (((A↑2) + (2 · A)) + 1)
42	7	nnsqcl 4717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (A↑2) ∈ ℕ
43	42	nncn 4430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A↑2) ∈ ℂ
44	6, 8	mulcl 4105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · A) ∈ ℂ
45	43, 44, 28	add23 4129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A↑2) + (2 · A)) + 1) = (((A↑2) + 1) + (2 · A))
46	36, 41, 45	3eqtr 1123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A + 1)↑2) = (((A↑2) + 1) + (2 · A))
47	35, 46	eqtr3 1121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A + 1) · (A + 1)) = (((A↑2) + 1) + (2 · A))
48	47	opreq1i 3009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A + 1) · (A + 1)) / 2) = ((((A↑2) + 1) + (2 · A)) / 2)
49	43, 28	addcl 4104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A↑2) + 1) ∈ ℂ
50	49, 44, 6, 11	divdistr 4243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((A↑2) + 1) + (2 · A)) / 2) = ((((A↑2) + 1) / 2) + ((2 · A) / 2))
51	6, 8, 11	divcan3 4247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · A) / 2) = A
52	51	opreq2i 3010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((A↑2) + 1) / 2) + ((2 · A) / 2)) = ((((A↑2) + 1) / 2) + A)
53	48, 50, 52	3eqtr 1123	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A + 1) · (A + 1)) / 2) = ((((A↑2) + 1) / 2) + A)
54	34, 53	eqtr3 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((A + 1) · ((A + 1) / 2)) = ((((A↑2) + 1) / 2) + A)
55	31, 33, 54	3eqtr3 1124	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (((A + 1) / 2) · ((A + 1) / 2))) = ((((A↑2) + 1) / 2) + A)
56	55	eleq1i 1152	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (((A + 1) / 2) · ((A + 1) / 2))) ∈ ℕ ↔ ((((A↑2) + 1) / 2) + A) ∈ ℕ)
57	8	addid2 4113	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + A) = A
58	42	nnre 4429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A↑2) ∈ ℝ
59		ax1re 4064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
60	58, 59	readdcl 4118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A↑2) + 1) ∈ ℝ
61	42	nngt0 4445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (A↑2)
62		lt01 4377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
63	58, 59, 61, 62	addgt0i 4326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < ((A↑2) + 1)
64	60, 9, 63, 10	divgt0i 4391	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (((A↑2) + 1) / 2)
65		ax0re 4063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
66	60, 9, 11	redivcl 4274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A↑2) + 1) / 2) ∈ ℝ
67	7	nnre 4429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ A ∈ ℝ
68	65, 66, 67	ltadd1 4313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (((A↑2) + 1) / 2) ↔ (0 + A) < ((((A↑2) + 1) / 2) + A))
69	64, 68	mpbi 164	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + A) < ((((A↑2) + 1) / 2) + A)
70	57, 69	eqbrtrr 2078	. . . . . . . 8 ⊢ A < ((((A↑2) + 1) / 2) + A)
71		nnsubt 4451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ ((((A↑2) + 1) / 2) + A) ∈ ℕ) → (A < ((((A↑2) + 1) / 2) + A) ↔ (((((A↑2) + 1) / 2) + A) − A) ∈ ℕ))
72	7, 71	mpan 518	. . . . . . . 8 ⊢ (((((A↑2) + 1) / 2) + A) ∈ ℕ → (A < ((((A↑2) + 1) / 2) + A) ↔ (((((A↑2) + 1) / 2) + A) − A) ∈ ℕ))
73	70, 72	mpbii 168	. . . . . . 7 ⊢ (((((A↑2) + 1) / 2) + A) ∈ ℕ → (((((A↑2) + 1) / 2) + A) − A) ∈ ℕ)
74	66	recn 4098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A↑2) + 1) / 2) ∈ ℂ
75	74, 8, 8	addsubass 4152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((A↑2) + 1) / 2) + A) − A) = ((((A↑2) + 1) / 2) + (A − A))
76	8	subid 4155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A − A) = 0
77	76	opreq2i 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A↑2) + 1) / 2) + (A − A)) = ((((A↑2) + 1) / 2) + 0)
78	74	addid1 4112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A↑2) + 1) / 2) + 0) = (((A↑2) + 1) / 2)
79	75, 77, 78	3eqtr 1123	. . . . . . . 8 ⊢ (((((A↑2) + 1) / 2) + A) − A) = (((A↑2) + 1) / 2)
80	79	eleq1i 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((((((A↑2) + 1) / 2) + A) − A) ∈ ℕ ↔ (((A↑2) + 1) / 2) ∈ ℕ)
81	73, 80	sylib 173	. . . . . 6 ⊢ (((((A↑2) + 1) / 2) + A) ∈ ℕ → (((A↑2) + 1) / 2) ∈ ℕ)
82	56, 81	sylbi 174	. . . . 5 ⊢ ((2 · (((A + 1) / 2) · ((A + 1) / 2))) ∈ ℕ → (((A↑2) + 1) / 2) ∈ ℕ)
83	25, 27, 82	3syl 21	. . . 4 ⊢ (((A + 1) / 2) ∈ ℕ → (((A↑2) + 1) / 2) ∈ ℕ)
84	83	con3i 90	. . 3 ⊢ (¬ (((A↑2) + 1) / 2) ∈ ℕ → ¬ ((A + 1) / 2) ∈ ℕ)
85	42	nneo 4719	. . 3 ⊢ (((A↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ (((A↑2) + 1) / 2) ∈ ℕ)
86	7	nneo 4719	. . 3 ⊢ ((A / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((A + 1) / 2) ∈ ℕ)
87	84, 85, 86	3imtr4 192	. 2 ⊢ (((A↑2) / 2) ∈ ℕ → (A / 2) ∈ ℕ)
88	23, 87	impbi 139	1 ⊢ ((A / 2) ∈ ℕ ↔ ((A↑2) / 2) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   − cmin 4089   / cdiv 4091  ℕcn 4093  2c2 4454  ↑cexp 4675

This theorem is referenced by:  sqr2irrlem1 4777

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676

metamath.org