Theorem nnge1t 4439

Description: A natural number is one or greater.

Assertion

Ref	Expression
nnge1t	⊢ (A ∈ ℕ → 1 ≤ A)

Proof of Theorem nnge1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2066	. 2 ⊢ (x = 1 → (1 ≤ x ↔ 1 ≤ 1))
2		breq2 2066	. 2 ⊢ (x = y → (1 ≤ x ↔ 1 ≤ y))
3		breq2 2066	. 2 ⊢ (x = (y + 1) → (1 ≤ x ↔ 1 ≤ (y + 1)))
4		breq2 2066	. 2 ⊢ (x = A → (1 ≤ x ↔ 1 ≤ A))
5		ax1re 4064	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	5	leid 4339	. 2 ⊢ 1 ≤ 1
7		nnret 4427	. . 3 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℝ)
8		recnt 4097	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℝ → y ∈ ℂ)
9		ax0id 4076	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℂ → (y + 0) = y)
10	8, 9	syl 12	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℝ → (y + 0) = y)
11	10	breq2d 2072	. . . 4 ⊢ (y ∈ ℝ → (1 ≤ (y + 0) ↔ 1 ≤ y))
12		lt01 4377	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
13		ax0re 4063	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		axltadd 4085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (0 < 1 → (y + 0) < (y + 1)))
15	13, 14	mp3an1 639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (0 < 1 → (y + 0) < (y + 1)))
16	5, 15	mpan 518	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℝ → (0 < 1 → (y + 0) < (y + 1)))
17	12, 16	mpi 44	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℝ → (y + 0) < (y + 1))
18		axlttrn 4084	. . . . . . . . 9 ⊢ (((y + 0) ∈ ℝ ∧ (y + 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((y + 0) < (y + 1) ∧ (y + 1) < 1) → (y + 0) < 1))
19	5, 18	mp3an3 641	. . . . . . . 8 ⊢ (((y + 0) ∈ ℝ ∧ (y + 1) ∈ ℝ) → (((y + 0) < (y + 1) ∧ (y + 1) < 1) → (y + 0) < 1))
20		axaddrcl 4067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (y + 0) ∈ ℝ)
21	13, 20	mpan2 519	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℝ → (y + 0) ∈ ℝ)
22		axaddrcl 4067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (y + 1) ∈ ℝ)
23	5, 22	mpan2 519	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℝ → (y + 1) ∈ ℝ)
24	19, 21, 23	sylanc 361	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℝ → (((y + 0) < (y + 1) ∧ (y + 1) < 1) → (y + 0) < 1))
25	17, 24	mpand 524	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℝ → ((y + 1) < 1 → (y + 0) < 1))
26	25	con3d 87	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℝ → (¬ (y + 0) < 1 → ¬ (y + 1) < 1))
27	21, 5	jctil 240	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℝ → (1 ∈ ℝ ∧ (y + 0) ∈ ℝ))
28		leltt 4278	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (y + 0) ∈ ℝ) → (1 ≤ (y + 0) ↔ ¬ (y + 0) < 1))
29	27, 28	syl 12	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℝ → (1 ≤ (y + 0) ↔ ¬ (y + 0) < 1))
30	23, 5	jctil 240	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℝ → (1 ∈ ℝ ∧ (y + 1) ∈ ℝ))
31		leltt 4278	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (y + 1) ∈ ℝ) → (1 ≤ (y + 1) ↔ ¬ (y + 1) < 1))
32	30, 31	syl 12	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℝ → (1 ≤ (y + 1) ↔ ¬ (y + 1) < 1))
33	26, 29, 32	3imtr4d 421	. . . 4 ⊢ (y ∈ ℝ → (1 ≤ (y + 0) → 1 ≤ (y + 1)))
34	11, 33	sylbird 180	. . 3 ⊢ (y ∈ ℝ → (1 ≤ y → 1 ≤ (y + 1)))
35	7, 34	syl 12	. 2 ⊢ (y ∈ ℕ → (1 ≤ y → 1 ≤ (y + 1)))
36	1, 2, 3, 4, 6, 35	nnind 4434	1 ⊢ (A ∈ ℕ → 1 ≤ A)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   ≤ cle 4092  ℕcn 4093

This theorem is referenced by:  nngt1ne1t 4440  nngt0t 4441  lt1nnn 4442  nnrecgt0t 4447  nnleltp1t 4448  nnsub 4450  nnaddm1clt 4452  nn0ltp1let 4556  elnnz1 4581  halfnz 4586  zltp1let 4597  nnwoOLD 4608  nnlesq 4718

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423

metamath.org