Theorem nnind 4434

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis. See nnaddclt 4436 for an example of its use.

Hypotheses

Ref	Expression
nnind.1	⊢ (x = 1 → (φ ↔ ψ))
nnind.2	⊢ (x = y → (φ ↔ χ))
nnind.3	⊢ (x = (y + 1) → (φ ↔ θ))
nnind.4	⊢ (x = A → (φ ↔ τ))
nnind.5	⊢ ψ
nnind.6	⊢ (y ∈ ℕ → (χ → θ))

Assertion

Ref	Expression
nnind	⊢ (A ∈ ℕ → τ)

Distinct variable group(s):   x,y   x,A   ψ,x   χ,x   θ,x   τ,x   φ,y

Proof of Theorem nnind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 4432	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnind.5	. . . . . . 7 ⊢ ψ
3	1, 2	pm3.2i 234	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ ∧ ψ)
4		1cn 4101	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	4	elisseti 1355	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
6		eleq1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ (x = 1 → (x ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
7		nnind.1	. . . . . . . 8 ⊢ (x = 1 → (φ ↔ ψ))
8	6, 7	anbi12d 476	. . . . . . 7 ⊢ (x = 1 → ((x ∈ ℕ ∧ φ) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ ψ)))
9	5, 8	elab 1415	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)} ↔ (1 ∈ ℕ ∧ ψ))
10	3, 9	mpbir 165	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)}
11		pm3.26 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℕ ∧ φ) → x ∈ ℕ)
12	11	ss2abi 1552	. . . . . . . 8 ⊢ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)} ⊆ {x∣x ∈ ℕ}
13	12	sseli 1504	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)} → y ∈ {x∣x ∈ ℕ})
14		abid2 1186	. . . . . . . . 9 ⊢ {x∣x ∈ ℕ} = ℕ
15	14	eleq2i 1153	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ {x∣x ∈ ℕ} ↔ y ∈ ℕ)
16		peano2nn 4433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ ℕ → (y + 1) ∈ ℕ)
17	16	a1d 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ ℕ → (y ∈ ℕ → (y + 1) ∈ ℕ))
18		nnind.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ ℕ → (χ → θ))
19	17, 18	anim12d 431	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ ℕ → ((y ∈ ℕ ∧ χ) → ((y + 1) ∈ ℕ ∧ θ)))
20		visset 1350	. . . . . . . . . 10 ⊢ y ∈ V
21		eleq1 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = y → (x ∈ ℕ ↔ y ∈ ℕ))
22		nnind.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = y → (φ ↔ χ))
23	21, 22	anbi12d 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = y → ((x ∈ ℕ ∧ φ) ↔ (y ∈ ℕ ∧ χ)))
24	20, 23	elab 1415	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)} ↔ (y ∈ ℕ ∧ χ))
25		oprex 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y + 1) ∈ V
26		eleq1 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = (y + 1) → (x ∈ ℕ ↔ (y + 1) ∈ ℕ))
27		nnind.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = (y + 1) → (φ ↔ θ))
28	26, 27	anbi12d 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (y + 1) → ((x ∈ ℕ ∧ φ) ↔ ((y + 1) ∈ ℕ ∧ θ)))
29	25, 28	elab 1415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y + 1) ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)} ↔ ((y + 1) ∈ ℕ ∧ θ))
30	19, 24, 29	3imtr4g 426	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℕ → (y ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)} → (y + 1) ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)}))
31	15, 30	sylbi 174	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ {x∣x ∈ ℕ} → (y ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)} → (y + 1) ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)}))
32	13, 31	mpcom 49	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)} → (y + 1) ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)})
33	32	ax-gen 677	. . . . 5 ⊢ ∀y(y ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)} → (y + 1) ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)})
34		nnex 4431	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
35	34	zfausab 1704	. . . . . 6 ⊢ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)} ∈ V
36	35	peano5nn 4424	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)} ∧ ∀y(y ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)} → (y + 1) ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)})) → ℕ ⊆ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)})
37	10, 33, 36	mp2an 520	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)}
38	37	sseli 1504	. . 3 ⊢ (A ∈ ℕ → A ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)})
39		eleq1 1149	. . . . 5 ⊢ (x = A → (x ∈ ℕ ↔ A ∈ ℕ))
40		nnind.4	. . . . 5 ⊢ (x = A → (φ ↔ τ))
41	39, 40	anbi12d 476	. . . 4 ⊢ (x = A → ((x ∈ ℕ ∧ φ) ↔ (A ∈ ℕ ∧ τ)))
42	41	elabg 1417	. . 3 ⊢ (A ∈ ℕ → (A ∈ {x∣(x ∈ ℕ ∧ φ)} ↔ (A ∈ ℕ ∧ τ)))
43	38, 42	mpbid 170	. 2 ⊢ (A ∈ ℕ → (A ∈ ℕ ∧ τ))
44	43	pm3.27d 262	1 ⊢ (A ∈ ℕ → τ)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  1c1 4029   + caddc 4031  ℕcn 4093

This theorem is referenced by:  nn1suc 4435  nnaddclt 4436  nnmulclt 4437  nnge1t 4439  nnleltp1t 4448  nnsub 4450  uzind 4603  nnwoOLD 4608  nn0ind 4612  seqlem1 4662  seqrn 4673  0expt 4680  1expt 4681  expcllem 4682  expaddt 4698  nneo 4719  ruclem25 4909  ruclem32 4916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-0r 3965  df-1r 3966  df-c 4034  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-n 4423

metamath.org