Theorem nnleltp1t 4448

Description: Natural number ordering relation.

Assertion

Ref	Expression
nnleltp1t	⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (A ≤ B ↔ A < (B + 1)))

Proof of Theorem nnleltp1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloet 4284	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A ≤ B ↔ (A < B ∨ A = B)))
2		nnret 4427	. . 3 ⊢ (A ∈ ℕ → A ∈ ℝ)
3		nnret 4427	. . 3 ⊢ (B ∈ ℕ → B ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 349	. 2 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (A ≤ B ↔ (A < B ∨ A = B)))
5		lt01 4377	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
6		ax0re 4063	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		ax1re 4064	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
8	6, 7	pm3.2i 234	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
9		lt2addt 4361	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → ((A < B ∧ 0 < 1) → (A + 0) < (B + 1)))
10	9	an4s 390	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → ((A < B ∧ 0 < 1) → (A + 0) < (B + 1)))
11	8, 10	mpan2 519	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((A < B ∧ 0 < 1) → (A + 0) < (B + 1)))
12	5, 11	mpan2i 522	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A < B → (A + 0) < (B + 1)))
13		pm3.26 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → A ∈ ℝ)
14		recnt 4097	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → A ∈ ℂ)
15		ax0id 4076	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℂ → (A + 0) = A)
16	13, 14, 15	3syl 21	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A + 0) = A)
17	16	breq1d 2071	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((A + 0) < (B + 1) ↔ A < (B + 1)))
18	12, 17	sylibd 177	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A < B → A < (B + 1)))
19		breq1 2065	. . . . . . . 8 ⊢ (A = B → (A < (B + 1) ↔ B < (B + 1)))
20		ltplus1t 4383	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℝ → B < (B + 1))
21	19, 20	syl5bir 184	. . . . . . 7 ⊢ (A = B → (B ∈ ℝ → A < (B + 1)))
22	21	com12 13	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ ℝ → (A = B → A < (B + 1)))
23	22	adantl 305	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A = B → A < (B + 1)))
24	18, 23	jaod 329	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((A < B ∨ A = B) → A < (B + 1)))
25	24, 2, 3	syl2an 349	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → ((A < B ∨ A = B) → A < (B + 1)))
26		opreq1 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = 1 → (x + 1) = (1 + 1))
27	26	breq2d 2072	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = 1 → (z < (x + 1) ↔ z < (1 + 1)))
28		breq2 2066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = 1 → (z < x ↔ z < 1))
29		cleq2 1110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = 1 → (z = x ↔ z = 1))
30	28, 29	orbi12d 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = 1 → ((z < x ∨ z = x) ↔ (z < 1 ∨ z = 1)))
31	27, 30	imbi12d 474	. . . . . . . 8 ⊢ (x = 1 → ((z < (x + 1) → (z < x ∨ z = x)) ↔ (z < (1 + 1) → (z < 1 ∨ z = 1))))
32	31	biraldv 1219	. . . . . . 7 ⊢ (x = 1 → (∀z ∈ ℕ (z < (x + 1) → (z < x ∨ z = x)) ↔ ∀z ∈ ℕ (z < (1 + 1) → (z < 1 ∨ z = 1))))
33		opreq1 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = y → (x + 1) = (y + 1))
34	33	breq2d 2072	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = y → (z < (x + 1) ↔ z < (y + 1)))
35		breq2 2066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = y → (z < x ↔ z < y))
36		cleq2 1110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = y → (z = x ↔ z = y))
37	35, 36	orbi12d 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = y → ((z < x ∨ z = x) ↔ (z < y ∨ z = y)))
38	34, 37	imbi12d 474	. . . . . . . 8 ⊢ (x = y → ((z < (x + 1) → (z < x ∨ z = x)) ↔ (z < (y + 1) → (z < y ∨ z = y))))
39	38	biraldv 1219	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → (∀z ∈ ℕ (z < (x + 1) → (z < x ∨ z = x)) ↔ ∀z ∈ ℕ (z < (y + 1) → (z < y ∨ z = y))))
40		opreq1 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (y + 1) → (x + 1) = ((y + 1) + 1))
41	40	breq2d 2072	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = (y + 1) → (z < (x + 1) ↔ z < ((y + 1) + 1)))
42		breq2 2066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (y + 1) → (z < x ↔ z < (y + 1)))
43		cleq2 1110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (y + 1) → (z = x ↔ z = (y + 1)))
44	42, 43	orbi12d 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = (y + 1) → ((z < x ∨ z = x) ↔ (z < (y + 1) ∨ z = (y + 1))))
45	41, 44	imbi12d 474	. . . . . . . 8 ⊢ (x = (y + 1) → ((z < (x + 1) → (z < x ∨ z = x)) ↔ (z < ((y + 1) + 1) → (z < (y + 1) ∨ z = (y + 1)))))
46	45	biraldv 1219	. . . . . . 7 ⊢ (x = (y + 1) → (∀z ∈ ℕ (z < (x + 1) → (z < x ∨ z = x)) ↔ ∀z ∈ ℕ (z < ((y + 1) + 1) → (z < (y + 1) ∨ z = (y + 1)))))
47		opreq1 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = B → (x + 1) = (B + 1))
48	47	breq2d 2072	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = B → (z < (x + 1) ↔ z < (B + 1)))
49		breq2 2066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = B → (z < x ↔ z < B))
50		cleq2 1110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = B → (z = x ↔ z = B))
51	49, 50	orbi12d 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = B → ((z < x ∨ z = x) ↔ (z < B ∨ z = B)))
52	48, 51	imbi12d 474	. . . . . . . 8 ⊢ (x = B → ((z < (x + 1) → (z < x ∨ z = x)) ↔ (z < (B + 1) → (z < B ∨ z = B))))
53	52	biraldv 1219	. . . . . . 7 ⊢ (x = B → (∀z ∈ ℕ (z < (x + 1) → (z < x ∨ z = x)) ↔ ∀z ∈ ℕ (z < (B + 1) → (z < B ∨ z = B))))
54		breq1 2065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = 1 → (x < (1 + 1) ↔ 1 < (1 + 1)))
55		breq1 2065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = 1 → (x < 1 ↔ 1 < 1))
56		cleq1 1107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = 1 → (x = 1 ↔ 1 = 1))
57	55, 56	orbi12d 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = 1 → ((x < 1 ∨ x = 1) ↔ (1 < 1 ∨ 1 = 1)))
58	54, 57	imbi12d 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = 1 → ((x < (1 + 1) → (x < 1 ∨ x = 1)) ↔ (1 < (1 + 1) → (1 < 1 ∨ 1 = 1))))
59		breq1 2065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = y → (x < (1 + 1) ↔ y < (1 + 1)))
60		breq1 2065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = y → (x < 1 ↔ y < 1))
61		cleq1 1107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = y → (x = 1 ↔ y = 1))
62	60, 61	orbi12d 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = y → ((x < 1 ∨ x = 1) ↔ (y < 1 ∨ y = 1)))
63	59, 62	imbi12d 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = y → ((x < (1 + 1) → (x < 1 ∨ x = 1)) ↔ (y < (1 + 1) → (y < 1 ∨ y = 1))))
64		breq1 2065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (y + 1) → (x < (1 + 1) ↔ (y + 1) < (1 + 1)))
65		breq1 2065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = (y + 1) → (x < 1 ↔ (y + 1) < 1))
66		cleq1 1107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = (y + 1) → (x = 1 ↔ (y + 1) = 1))
67	65, 66	orbi12d 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (y + 1) → ((x < 1 ∨ x = 1) ↔ ((y + 1) < 1 ∨ (y + 1) = 1)))
68	64, 67	imbi12d 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = (y + 1) → ((x < (1 + 1) → (x < 1 ∨ x = 1)) ↔ ((y + 1) < (1 + 1) → ((y + 1) < 1 ∨ (y + 1) = 1))))
69		breq1 2065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = z → (x < (1 + 1) ↔ z < (1 + 1)))
70		breq1 2065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = z → (x < 1 ↔ z < 1))
71		cleq1 1107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = z → (x = 1 ↔ z = 1))
72	70, 71	orbi12d 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = z → ((x < 1 ∨ x = 1) ↔ (z < 1 ∨ z = 1)))
73	69, 72	imbi12d 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = z → ((x < (1 + 1) → (x < 1 ∨ x = 1)) ↔ (z < (1 + 1) → (z < 1 ∨ z = 1))))
74		cleqid 1102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = 1
75	74	a1i 7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 1 < 1 → 1 = 1)
76	75	orri 201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 1 ∨ 1 = 1)
77	76	a1i 7	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < (1 + 1) → (1 < 1 ∨ 1 = 1))
78		ltadd1t 4348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (y < 1 ↔ (y + 1) < (1 + 1)))
79		nnret 4427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℝ)
80	7	a1i 7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
81	78, 79, 80, 80	syl3anc 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ ℕ → (y < 1 ↔ (y + 1) < (1 + 1)))
82		nnge1t 4439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ℕ → 1 ≤ y)
83		leltt 4278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (1 ≤ y ↔ ¬ y < 1))
84	83, 80, 79	sylanc 361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ℕ → (1 ≤ y ↔ ¬ y < 1))
85	82, 84	mpbid 170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℕ → ¬ y < 1)
86	85	pm2.21d 74	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ ℕ → (y < 1 → ((y + 1) < 1 ∨ (y + 1) = 1)))
87	81, 86	sylbird 180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ ℕ → ((y + 1) < (1 + 1) → ((y + 1) < 1 ∨ (y + 1) = 1)))
88	87	a1d 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ ℕ → ((y < (1 + 1) → (y < 1 ∨ y = 1)) → ((y + 1) < (1 + 1) → ((y + 1) < 1 ∨ (y + 1) = 1))))
89	58, 63, 68, 73, 77, 88	nnind 4434	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ ℕ → (z < (1 + 1) → (z < 1 ∨ z = 1)))
90	89	rgen 1247	. . . . . . 7 ⊢ ∀z ∈ ℕ (z < (1 + 1) → (z < 1 ∨ z = 1))
91		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = 1 → (x < ((y + 1) + 1) ↔ 1 < ((y + 1) + 1)))
92		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = 1 → (x < (y + 1) ↔ 1 < (y + 1)))
93		cleq1 1107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = 1 → (x = (y + 1) ↔ 1 = (y + 1)))
94	92, 93	orbi12d 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = 1 → ((x < (y + 1) ∨ x = (y + 1)) ↔ (1 < (y + 1) ∨ 1 = (y + 1))))
95	91, 94	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = 1 → ((x < ((y + 1) + 1) → (x < (y + 1) ∨ x = (y + 1))) ↔ (1 < ((y + 1) + 1) → (1 < (y + 1) ∨ 1 = (y + 1)))))
96	95	imbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = 1 → (((y ∈ ℕ ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → (x < ((y + 1) + 1) → (x < (y + 1) ∨ x = (y + 1)))) ↔ ((y ∈ ℕ ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → (1 < ((y + 1) + 1) → (1 < (y + 1) ∨ 1 = (y + 1))))))
97		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = v → (x < ((y + 1) + 1) ↔ v < ((y + 1) + 1)))
98		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = v → (x < (y + 1) ↔ v < (y + 1)))
99		cleq1 1107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = v → (x = (y + 1) ↔ v = (y + 1)))
100	98, 99	orbi12d 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = v → ((x < (y + 1) ∨ x = (y + 1)) ↔ (v < (y + 1) ∨ v = (y + 1))))
101	97, 100	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = v → ((x < ((y + 1) + 1) → (x < (y + 1) ∨ x = (y + 1))) ↔ (v < ((y + 1) + 1) → (v < (y + 1) ∨ v = (y + 1)))))
102	101	imbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = v → (((y ∈ ℕ ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → (x < ((y + 1) + 1) → (x < (y + 1) ∨ x = (y + 1)))) ↔ ((y ∈ ℕ ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → (v < ((y + 1) + 1) → (v < (y + 1) ∨ v = (y + 1))))))
103		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = (v + 1) → (x < ((y + 1) + 1) ↔ (v + 1) < ((y + 1) + 1)))
104		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = (v + 1) → (x < (y + 1) ↔ (v + 1) < (y + 1)))
105		cleq1 1107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = (v + 1) → (x = (y + 1) ↔ (v + 1) = (y + 1)))
106	104, 105	orbi12d 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = (v + 1) → ((x < (y + 1) ∨ x = (y + 1)) ↔ ((v + 1) < (y + 1) ∨ (v + 1) = (y + 1))))
107	103, 106	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = (v + 1) → ((x < ((y + 1) + 1) → (x < (y + 1) ∨ x = (y + 1))) ↔ ((v + 1) < ((y + 1) + 1) → ((v + 1) < (y + 1) ∨ (v + 1) = (y + 1)))))
108	107	imbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = (v + 1) → (((y ∈ ℕ ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → (x < ((y + 1) + 1) → (x < (y + 1) ∨ x = (y + 1)))) ↔ ((y ∈ ℕ ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → ((v + 1) < ((y + 1) + 1) → ((v + 1) < (y + 1) ∨ (v + 1) = (y + 1))))))
109		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = z → (x < ((y + 1) + 1) ↔ z < ((y + 1) + 1)))
110		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = z → (x < (y + 1) ↔ z < (y + 1)))
111		cleq1 1107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = z → (x = (y + 1) ↔ z = (y + 1)))
112	110, 111	orbi12d 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = z → ((x < (y + 1) ∨ x = (y + 1)) ↔ (z < (y + 1) ∨ z = (y + 1))))
113	109, 112	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = z → ((x < ((y + 1) + 1) → (x < (y + 1) ∨ x = (y + 1))) ↔ (z < ((y + 1) + 1) → (z < (y + 1) ∨ z = (y + 1)))))
114	113	imbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = z → (((y ∈ ℕ ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → (x < ((y + 1) + 1) → (x < (y + 1) ∨ x = (y + 1)))) ↔ ((y ∈ ℕ ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → (z < ((y + 1) + 1) → (z < (y + 1) ∨ z = (y + 1))))))
115		nngt0t 4441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (y ∈ ℕ → 0 < y)
116		ltadd1t 4348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < y ↔ (0 + 1) < (y + 1)))
117	6	a1i 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (y ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
118	116, 117, 79, 80	syl3anc 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (y ∈ ℕ → (0 < y ↔ (0 + 1) < (y + 1)))
119	115, 118	mpbid 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (y ∈ ℕ → (0 + 1) < (y + 1))
120		1cn 4101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℂ
121	120	addid2 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 + 1) = 1
122	121	breq1i 2068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 + 1) < (y + 1) ↔ 1 < (y + 1))
123	119, 122	sylib 173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y ∈ ℕ → 1 < (y + 1))
124	123	a1d 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y ∈ ℕ → (¬ 1 = (y + 1) → 1 < (y + 1)))
125	124	con1d 85	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ ℕ → (¬ 1 < (y + 1) → 1 = (y + 1)))
126	125	orrd 203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ ℕ → (1 < (y + 1) ∨ 1 = (y + 1)))
127	126	a1d 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ℕ → (1 < ((y + 1) + 1) → (1 < (y + 1) ∨ 1 = (y + 1))))
128	127	adantr 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ ℕ ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → (1 < ((y + 1) + 1) → (1 < (y + 1) ∨ 1 = (y + 1))))
129		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (w = v → (w < (y + 1) ↔ v < (y + 1)))
130		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (w = v → (w < y ↔ v < y))
131		cleq1 1107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (w = v → (w = y ↔ v = y))
132	130, 131	orbi12d 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (w = v → ((w < y ∨ w = y) ↔ (v < y ∨ v = y)))
133	129, 132	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (w = v → ((w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y)) ↔ (v < (y + 1) → (v < y ∨ v = y))))
134	133	rcla4v 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y)) → (v ∈ ℕ → (v < (y + 1) → (v < y ∨ v = y))))
135	134	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (v ∈ ℕ → (∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y)) → (v < (y + 1) → (v < y ∨ v = y))))
136	135	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((v ∈ ℕ ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → (v < (y + 1) → (v < y ∨ v = y)))
137	136	adantlr 310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((v ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → (v < (y + 1) → (v < y ∨ v = y)))
138		ltadd1t 4348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((v ∈ ℝ ∧ (y + 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (v < (y + 1) ↔ (v + 1) < ((y + 1) + 1)))
139		nnret 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (v ∈ ℕ → v ∈ ℝ)
140	139	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((v ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → v ∈ ℝ)
141	79, 7	jctir 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (y ∈ ℕ → (y ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
142		axaddrcl 4067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (y + 1) ∈ ℝ)
143	141, 142	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (y ∈ ℕ → (y + 1) ∈ ℝ)
144	143	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((v ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → (y + 1) ∈ ℝ)
145	7	a1i 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((v ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
146	138, 140, 144, 145	syl3anc 629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((v ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → (v < (y + 1) ↔ (v + 1) < ((y + 1) + 1)))
147	146	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((v ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → (v < (y + 1) ↔ (v + 1) < ((y + 1) + 1)))
148		ltadd1t 4348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((v ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (v < y ↔ (v + 1) < (y + 1)))
149		recnt 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (v ∈ ℝ → v ∈ ℂ)
150		recnt 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (y ∈ ℝ → y ∈ ℂ)
151		recnt 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
152	149, 150, 151	im3an 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((v ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (v ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
153		3anrot 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ v ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ↔ (v ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
154	152, 153	sylibr 175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((v ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ ℂ ∧ v ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ))
155		3simpc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ v ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → (v ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ))
156		3simp1 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ v ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
157	155, 156	jca 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ v ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → ((v ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ))
158		anandir 393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((v ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ) ↔ ((v ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (y ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)))
159	157, 158	sylib 173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ v ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → ((v ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (y ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)))
160		axaddcom 4070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((v ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (v + 1) = (1 + v))
161		axaddcom 4070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (y + 1) = (1 + y))
162	160, 161	cleqan12d 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((v ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (y ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((v + 1) = (y + 1) ↔ (1 + v) = (1 + y)))
163	159, 162	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ v ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → ((v + 1) = (y + 1) ↔ (1 + v) = (1 + y)))
164		addcant 4122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ v ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → ((1 + v) = (1 + y) ↔ v = y))
165	163, 164	bitr2d 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ v ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → (v = y ↔ (v + 1) = (y + 1)))
166	154, 165	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((v ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (v = y ↔ (v + 1) = (y + 1)))
167	148, 166	orbi12d 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((v ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((v < y ∨ v = y) ↔ ((v + 1) < (y + 1) ∨ (v + 1) = (y + 1))))
168	79	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((v ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → y ∈ ℝ)
169	167, 140, 168, 145	syl3anc 629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((v ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → ((v < y ∨ v = y) ↔ ((v + 1) < (y + 1) ∨ (v + 1) = (y + 1))))
170	169	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((v ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → ((v < y ∨ v = y) ↔ ((v + 1) < (y + 1) ∨ (v + 1) = (y + 1))))
171	137, 147, 170	3imtr3d 420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((v ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → ((v + 1) < ((y + 1) + 1) → ((v + 1) < (y + 1) ∨ (v + 1) = (y + 1))))
172	171	exp31 293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (v ∈ ℕ → (y ∈ ℕ → (∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y)) → ((v + 1) < ((y + 1) + 1) → ((v + 1) < (y + 1) ∨ (v + 1) = (y + 1))))))
173	172	imp3a 279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (v ∈ ℕ → ((y ∈ ℕ ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → ((v + 1) < ((y + 1) + 1) → ((v + 1) < (y + 1) ∨ (v + 1) = (y + 1)))))
174	173	a1d 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (v ∈ ℕ → (((y ∈ ℕ ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → (v < ((y + 1) + 1) → (v < (y + 1) ∨ v = (y + 1)))) → ((y ∈ ℕ ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → ((v + 1) < ((y + 1) + 1) → ((v + 1) < (y + 1) ∨ (v + 1) = (y + 1))))))
175	96, 102, 108, 114, 128, 174	nnind 4434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z ∈ ℕ → ((y ∈ ℕ ∧ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))) → (z < ((y + 1) + 1) → (z < (y + 1) ∨ z = (y + 1)))))
176	175	exp3a 292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ∈ ℕ → (y ∈ ℕ → (∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y)) → (z < ((y + 1) + 1) → (z < (y + 1) ∨ z = (y + 1))))))
177	176	com3l 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ ℕ → (∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y)) → (z ∈ ℕ → (z < ((y + 1) + 1) → (z < (y + 1) ∨ z = (y + 1))))))
178	177	r19.21adv 1262	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℕ → (∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y)) → ∀z ∈ ℕ (z < ((y + 1) + 1) → (z < (y + 1) ∨ z = (y + 1)))))
179		breq1 2065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = w → (z < (y + 1) ↔ w < (y + 1)))
180		breq1 2065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z = w → (z < y ↔ w < y))
181		cleq1 1107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z = w → (z = y ↔ w = y))
182	180, 181	orbi12d 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = w → ((z < y ∨ z = y) ↔ (w < y ∨ w = y)))
183	179, 182	imbi12d 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = w → ((z < (y + 1) → (z < y ∨ z = y)) ↔ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y))))
184	183	cbvralv 1333	. . . . . . . 8 ⊢ (∀z ∈ ℕ (z < (y + 1) → (z < y ∨ z = y)) ↔ ∀w ∈ ℕ (w < (y + 1) → (w < y ∨ w = y)))
185	178, 184	syl5ib 181	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℕ → (∀z ∈ ℕ (z < (y + 1) → (z < y ∨ z = y)) → ∀z ∈ ℕ (z < ((y + 1) + 1) → (z < (y + 1) ∨ z = (y + 1)))))
186	32, 39, 46, 53, 90, 185	nnind 4434	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ ℕ → ∀z ∈ ℕ (z < (B + 1) → (z < B ∨ z = B)))
187		breq1 2065	. . . . . . . 8 ⊢ (z = A → (z < (B + 1) ↔ A < (B + 1)))
188		breq1 2065	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = A → (z < B ↔ A < B))
189		cleq1 1107	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = A → (z = B ↔ A = B))
190	188, 189	orbi12d 475	. . . . . . . 8 ⊢ (z = A → ((z < B ∨ z = B) ↔ (A < B ∨ A = B)))
191	187, 190	imbi12d 474	. . . . . . 7 ⊢ (z = A → ((z < (B + 1) → (z < B ∨ z = B)) ↔ (A < (B + 1) → (A < B ∨ A = B))))
192	191	rcla4v 1402	. . . . . 6 ⊢ (∀z ∈ ℕ (z < (B + 1) → (z < B ∨ z = B)) → (A ∈ ℕ → (A < (B + 1) → (A < B ∨ A = B))))
193	186, 192	syl 12	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℕ → (A ∈ ℕ → (A < (B + 1) → (A < B ∨ A = B))))
194	193	com12 13	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℕ → (B ∈ ℕ → (A < (B + 1) → (A < B ∨ A = B))))
195	194	imp 277	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (A < (B + 1) → (A < B ∨ A = B)))
196	25, 195	impbid 397	. 2 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → ((A < B ∨ A = B) ↔ A < (B + 1)))
197	4, 196	bitrd 406	1 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (A ≤ B ↔ A < (B + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   ≤ cle 4092  ℕcn 4093

This theorem is referenced by:  nnltp1let 4449  nnsub 4450  nnwoOLD 4608

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423

metamath.org