Theorem nnmass 3181

Description: Multiplication of natural numbers is associative. (This can be extended to all ordinals with a longer proof.) Theorem 4K(4) of [Enderton] p. 81.

Assertion

Ref	Expression
nnmass	⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ C ∈ ω) → ((A ·o B) ·o C) = (A ·o (B ·o C)))

Proof of Theorem nnmass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (x = ∅ → ((A ·o B) ·o x) = ((A ·o B) ·o ∅))
2		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = ∅ → (B ·o x) = (B ·o ∅))
3	2	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = ∅ → (A ·o (B ·o x)) = (A ·o (B ·o ∅)))
4	1, 3	cleq12d 1115	. . . . . 6 ⊢ (x = ∅ → (((A ·o B) ·o x) = (A ·o (B ·o x)) ↔ ((A ·o B) ·o ∅) = (A ·o (B ·o ∅))))
5	4	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((A ·o B) ·o x) = (A ·o (B ·o x))) ↔ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((A ·o B) ·o ∅) = (A ·o (B ·o ∅)))))
6		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → ((A ·o B) ·o x) = ((A ·o B) ·o y))
7		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = y → (B ·o x) = (B ·o y))
8	7	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → (A ·o (B ·o x)) = (A ·o (B ·o y)))
9	6, 8	cleq12d 1115	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (((A ·o B) ·o x) = (A ·o (B ·o x)) ↔ ((A ·o B) ·o y) = (A ·o (B ·o y))))
10	9	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (x = y → (((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((A ·o B) ·o x) = (A ·o (B ·o x))) ↔ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((A ·o B) ·o y) = (A ·o (B ·o y)))))
11		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (x = suc y → ((A ·o B) ·o x) = ((A ·o B) ·o suc y))
12		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = suc y → (B ·o x) = (B ·o suc y))
13	12	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = suc y → (A ·o (B ·o x)) = (A ·o (B ·o suc y)))
14	11, 13	cleq12d 1115	. . . . . 6 ⊢ (x = suc y → (((A ·o B) ·o x) = (A ·o (B ·o x)) ↔ ((A ·o B) ·o suc y) = (A ·o (B ·o suc y))))
15	14	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → (((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((A ·o B) ·o x) = (A ·o (B ·o x))) ↔ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((A ·o B) ·o suc y) = (A ·o (B ·o suc y)))))
16		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (x = C → ((A ·o B) ·o x) = ((A ·o B) ·o C))
17		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = C → (B ·o x) = (B ·o C))
18	17	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = C → (A ·o (B ·o x)) = (A ·o (B ·o C)))
19	16, 18	cleq12d 1115	. . . . . 6 ⊢ (x = C → (((A ·o B) ·o x) = (A ·o (B ·o x)) ↔ ((A ·o B) ·o C) = (A ·o (B ·o C))))
20	19	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (x = C → (((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((A ·o B) ·o x) = (A ·o (B ·o x))) ↔ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((A ·o B) ·o C) = (A ·o (B ·o C)))))
21		nnmcl 3173	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o B) ∈ ω)
22		nnm0 3167	. . . . . . 7 ⊢ ((A ·o B) ∈ ω → ((A ·o B) ·o ∅) = ∅)
23	21, 22	syl 12	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((A ·o B) ·o ∅) = ∅)
24		nnm0 3167	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ω → (B ·o ∅) = ∅)
25	24	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ ω → (A ·o (B ·o ∅)) = (A ·o ∅))
26		nnm0 3167	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ω → (A ·o ∅) = ∅)
27	25, 26	sylan9eqr 1145	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o (B ·o ∅)) = ∅)
28	23, 27	eqtr4d 1131	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((A ·o B) ·o ∅) = (A ·o (B ·o ∅)))
29		nnmsuc 3169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A ·o B) ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((A ·o B) ·o suc y) = (((A ·o B) ·o y) +o (A ·o B)))
30	29, 21	sylan 343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) ∧ y ∈ ω) → ((A ·o B) ·o suc y) = (((A ·o B) ·o y) +o (A ·o B)))
31	30	3impa 609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((A ·o B) ·o suc y) = (((A ·o B) ·o y) +o (A ·o B)))
32		nnmsuc 3169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (B ·o suc y) = ((B ·o y) +o B))
33	32	3adant1 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (B ·o suc y) = ((B ·o y) +o B))
34	33	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (A ·o (B ·o suc y)) = (A ·o ((B ·o y) +o B)))
35		nndi 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((A ∈ ω ∧ (B ·o y) ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ·o ((B ·o y) +o B)) = ((A ·o (B ·o y)) +o (A ·o B)))
36		nnmcl 3173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (B ·o y) ∈ ω)
37	35, 36	syl3an2 620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((A ∈ ω ∧ (B ∈ ω ∧ y ∈ ω) ∧ B ∈ ω) → (A ·o ((B ·o y) +o B)) = ((A ·o (B ·o y)) +o (A ·o B)))
38	37	3exp 611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (A ∈ ω → ((B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (B ∈ ω → (A ·o ((B ·o y) +o B)) = ((A ·o (B ·o y)) +o (A ·o B)))))
39	38	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (A ∈ ω → (B ∈ ω → (y ∈ ω → (B ∈ ω → (A ·o ((B ·o y) +o B)) = ((A ·o (B ·o y)) +o (A ·o B))))))
40	39	com34 36	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∈ ω → (B ∈ ω → (B ∈ ω → (y ∈ ω → (A ·o ((B ·o y) +o B)) = ((A ·o (B ·o y)) +o (A ·o B))))))
41	40	pm2.43d 59	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ ω → (B ∈ ω → (y ∈ ω → (A ·o ((B ·o y) +o B)) = ((A ·o (B ·o y)) +o (A ·o B)))))
42	41	3imp 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (A ·o ((B ·o y) +o B)) = ((A ·o (B ·o y)) +o (A ·o B)))
43	34, 42	eqtrd 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (A ·o (B ·o suc y)) = ((A ·o (B ·o y)) +o (A ·o B)))
44	31, 43	cleq12d 1115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (((A ·o B) ·o suc y) = (A ·o (B ·o suc y)) ↔ (((A ·o B) ·o y) +o (A ·o B)) = ((A ·o (B ·o y)) +o (A ·o B))))
45		opreq1 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ·o B) ·o y) = (A ·o (B ·o y)) → (((A ·o B) ·o y) +o (A ·o B)) = ((A ·o (B ·o y)) +o (A ·o B)))
46	44, 45	syl5bir 184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (((A ·o B) ·o y) = (A ·o (B ·o y)) → ((A ·o B) ·o suc y) = (A ·o (B ·o suc y))))
47	46	3exp 611	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ω → (B ∈ ω → (y ∈ ω → (((A ·o B) ·o y) = (A ·o (B ·o y)) → ((A ·o B) ·o suc y) = (A ·o (B ·o suc y))))))
48	47	com3r 35	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ω → (A ∈ ω → (B ∈ ω → (((A ·o B) ·o y) = (A ·o (B ·o y)) → ((A ·o B) ·o suc y) = (A ·o (B ·o suc y))))))
49	48	imp3a 279	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ω → ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (((A ·o B) ·o y) = (A ·o (B ·o y)) → ((A ·o B) ·o suc y) = (A ·o (B ·o suc y)))))
50	49	a2d 15	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ω → (((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((A ·o B) ·o y) = (A ·o (B ·o y))) → ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((A ·o B) ·o suc y) = (A ·o (B ·o suc y)))))
51	5, 10, 15, 20, 28, 50	finds 2397	. . . 4 ⊢ (C ∈ ω → ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((A ·o B) ·o C) = (A ·o (B ·o C))))
52	51	exp3a 292	. . 3 ⊢ (C ∈ ω → (A ∈ ω → (B ∈ ω → ((A ·o B) ·o C) = (A ·o (B ·o C)))))
53	52	com3l 34	. 2 ⊢ (A ∈ ω → (B ∈ ω → (C ∈ ω → ((A ·o B) ·o C) = (A ·o (B ·o C)))))
54	53	3imp 608	1 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ C ∈ ω) → ((A ·o B) ·o C) = (A ·o (B ·o C)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∅c0 1707  suc csuc 2201  ωcom 2372  (class class class)co 3001   +_o coa 3101   ·_o comu 3102

This theorem is referenced by:  mulasspi 3819

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107

metamath.org