Theorem nnmordi 3188

Description: Ordering property of multiplication. Half of Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers.

Assertion

Ref	Expression
nnmordi	⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ C ∈ ω) → ((A ∈ B ∧ ∅ ∈ C) → (C ·o A) ∈ (C ·o B)))

Proof of Theorem nnmordi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = suc A → (C ·o x) = (C ·o suc A))
2	1	sseq2d 1528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = suc A → ((C ·o suc A) ⊆ (C ·o x) ↔ (C ·o suc A) ⊆ (C ·o suc A)))
3	2	imbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = suc A → ((C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o x)) ↔ (C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o suc A))))
4		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = y → (C ·o x) = (C ·o y))
5	4	sseq2d 1528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = y → ((C ·o suc A) ⊆ (C ·o x) ↔ (C ·o suc A) ⊆ (C ·o y)))
6	5	imbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = y → ((C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o x)) ↔ (C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o y))))
7		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = suc y → (C ·o x) = (C ·o suc y))
8	7	sseq2d 1528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = suc y → ((C ·o suc A) ⊆ (C ·o x) ↔ (C ·o suc A) ⊆ (C ·o suc y)))
9	8	imbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = suc y → ((C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o x)) ↔ (C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o suc y))))
10		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = B → (C ·o x) = (C ·o B))
11	10	sseq2d 1528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = B → ((C ·o suc A) ⊆ (C ·o x) ↔ (C ·o suc A) ⊆ (C ·o B)))
12	11	imbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = B → ((C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o x)) ↔ (C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o B))))
13		ssid 1519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (C ·o suc A) ⊆ (C ·o suc A)
14	13	a1i 7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o suc A))
15	14	a1i 7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc A ∈ ω → (C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o suc A)))
16		sstr2 1510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((C ·o suc A) ⊆ (C ·o y) → ((C ·o y) ⊆ ((C ·o y) +o C) → (C ·o suc A) ⊆ ((C ·o y) +o C)))
17		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((C ∈ ω ∧ (C ·o y) ∈ ω) → (C ·o y) ∈ ω)
18		nnont 2379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((C ·o y) ∈ ω → (C ·o y) ∈ On)
19		oa0 3124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((C ·o y) ∈ On → ((C ·o y) +o ∅) = (C ·o y))
20	17, 18, 19	3syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((C ∈ ω ∧ (C ·o y) ∈ ω) → ((C ·o y) +o ∅) = (C ·o y))
21		peano1 2390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∅ ∈ ω
22		0ss 1725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ∅ ⊆ C
23		nnaword 3185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ C ∈ ω ∧ (C ·o y) ∈ ω) → (∅ ⊆ C ↔ ((C ·o y) +o ∅) ⊆ ((C ·o y) +o C)))
24	22, 23	mpbii 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ C ∈ ω ∧ (C ·o y) ∈ ω) → ((C ·o y) +o ∅) ⊆ ((C ·o y) +o C))
25	21, 24	mp3an1 639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((C ∈ ω ∧ (C ·o y) ∈ ω) → ((C ·o y) +o ∅) ⊆ ((C ·o y) +o C))
26	20, 25	eqsstr3d 1535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((C ∈ ω ∧ (C ·o y) ∈ ω) → (C ·o y) ⊆ ((C ·o y) +o C))
27		nnmcl 3173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((C ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (C ·o y) ∈ ω)
28	26, 27	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((C ∈ ω ∧ (C ∈ ω ∧ y ∈ ω)) → (C ·o y) ⊆ ((C ·o y) +o C))
29	28	anabss5 384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((C ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (C ·o y) ⊆ ((C ·o y) +o C))
30	16, 29	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((C ·o suc A) ⊆ (C ·o y) → ((C ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (C ·o suc A) ⊆ ((C ·o y) +o C)))
31	30	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((C ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((C ·o suc A) ⊆ (C ·o y) → (C ·o suc A) ⊆ ((C ·o y) +o C)))
32		nnmsuc 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((C ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (C ·o suc y) = ((C ·o y) +o C))
33	32	sseq2d 1528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((C ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((C ·o suc A) ⊆ (C ·o suc y) ↔ (C ·o suc A) ⊆ ((C ·o y) +o C)))
34	31, 33	sylibrd 179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((C ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((C ·o suc A) ⊆ (C ·o y) → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o suc y)))
35	34	exp 291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (C ∈ ω → (y ∈ ω → ((C ·o suc A) ⊆ (C ·o y) → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o suc y))))
36	35	com12 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ω → (C ∈ ω → ((C ·o suc A) ⊆ (C ·o y) → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o suc y))))
37	36	ad2antll 320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((y ∈ ω ∧ suc A ∈ ω) ∧ suc A ⊆ y) → (C ∈ ω → ((C ·o suc A) ⊆ (C ·o y) → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o suc y))))
38	37	a2d 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((y ∈ ω ∧ suc A ∈ ω) ∧ suc A ⊆ y) → ((C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o y)) → (C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o suc y))))
39	3, 6, 9, 12, 15, 38	findsg 2398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((B ∈ ω ∧ suc A ∈ ω) ∧ suc A ⊆ B) → (C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o B)))
40	39	exp 291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ω ∧ suc A ∈ ω) → (suc A ⊆ B → (C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o B))))
41		peano2b 2388	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ω ↔ suc A ∈ ω)
42	40, 41	sylan2b 347	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ω ∧ A ∈ ω) → (suc A ⊆ B → (C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o B))))
43		ordsucss 2320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord B → (A ∈ B → suc A ⊆ B))
44	43	imp 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord B ∧ A ∈ B) → suc A ⊆ B)
45		nnord 2381	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ ω → Ord B)
46	44, 45	sylan 343	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ω ∧ A ∈ B) → suc A ⊆ B)
47	42, 46	syl5 22	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ω ∧ A ∈ ω) → ((B ∈ ω ∧ A ∈ B) → (C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o B))))
48	47	exp4b 296	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ ω → (A ∈ ω → (B ∈ ω → (A ∈ B → (C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o B))))))
49	48	pm2.43b 61	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ω → (B ∈ ω → (A ∈ B → (C ∈ ω → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o B)))))
50	49	com34 36	. . . 4 ⊢ (A ∈ ω → (B ∈ ω → (C ∈ ω → (A ∈ B → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o B)))))
51	50	3imp 608	. . 3 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ C ∈ ω) → (A ∈ B → (C ·o suc A) ⊆ (C ·o B)))
52		nnmsuc 3169	. . . . . . . 8 ⊢ ((C ∈ ω ∧ A ∈ ω) → (C ·o suc A) = ((C ·o A) +o C))
53	52	sseq1d 1527	. . . . . . 7 ⊢ ((C ∈ ω ∧ A ∈ ω) → ((C ·o suc A) ⊆ (C ·o B) ↔ ((C ·o A) +o C) ⊆ (C ·o B)))
54		ssel 1502	. . . . . . 7 ⊢ (((C ·o A) +o C) ⊆ (C ·o B) → ((C ·o A) ∈ ((C ·o A) +o C) → (C ·o A) ∈ (C ·o B)))
55	53, 54	syl6bi 187	. . . . . 6 ⊢ ((C ∈ ω ∧ A ∈ ω) → ((C ·o suc A) ⊆ (C ·o B) → ((C ·o A) ∈ ((C ·o A) +o C) → (C ·o A) ∈ (C ·o B))))
56		nnaordi 3176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C ∈ ω ∧ (C ·o A) ∈ ω) → (∅ ∈ C → ((C ·o A) +o ∅) ∈ ((C ·o A) +o C)))
57		pm3.27 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((C ∈ ω ∧ (C ·o A) ∈ ω) → (C ·o A) ∈ ω)
58		nnont 2379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((C ·o A) ∈ ω → (C ·o A) ∈ On)
59		oa0 3124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((C ·o A) ∈ On → ((C ·o A) +o ∅) = (C ·o A))
60	57, 58, 59	3syl 21	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((C ∈ ω ∧ (C ·o A) ∈ ω) → ((C ·o A) +o ∅) = (C ·o A))
61	60	eleq1d 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C ∈ ω ∧ (C ·o A) ∈ ω) → (((C ·o A) +o ∅) ∈ ((C ·o A) +o C) ↔ (C ·o A) ∈ ((C ·o A) +o C)))
62	56, 61	sylibd 177	. . . . . . . 8 ⊢ ((C ∈ ω ∧ (C ·o A) ∈ ω) → (∅ ∈ C → (C ·o A) ∈ ((C ·o A) +o C)))
63		nnmcl 3173	. . . . . . . 8 ⊢ ((C ∈ ω ∧ A ∈ ω) → (C ·o A) ∈ ω)
64	62, 63	sylan2 346	. . . . . . 7 ⊢ ((C ∈ ω ∧ (C ∈ ω ∧ A ∈ ω)) → (∅ ∈ C → (C ·o A) ∈ ((C ·o A) +o C)))
65	64	anabss5 384	. . . . . 6 ⊢ ((C ∈ ω ∧ A ∈ ω) → (∅ ∈ C → (C ·o A) ∈ ((C ·o A) +o C)))
66	55, 65	syl5d 53	. . . . 5 ⊢ ((C ∈ ω ∧ A ∈ ω) → ((C ·o suc A) ⊆ (C ·o B) → (∅ ∈ C → (C ·o A) ∈ (C ·o B))))
67	66	ancoms 334	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ω ∧ C ∈ ω) → ((C ·o suc A) ⊆ (C ·o B) → (∅ ∈ C → (C ·o A) ∈ (C ·o B))))
68	67	3adant2 598	. . 3 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ C ∈ ω) → ((C ·o suc A) ⊆ (C ·o B) → (∅ ∈ C → (C ·o A) ∈ (C ·o B))))
69	51, 68	syld 27	. 2 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ C ∈ ω) → (A ∈ B → (∅ ∈ C → (C ·o A) ∈ (C ·o B))))
70	69	imp3a 279	1 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ C ∈ ω) → ((A ∈ B ∧ ∅ ∈ C) → (C ·o A) ∈ (C ·o B)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  Ord word 2198  Oncon0 2199  suc csuc 2201  ωcom 2372  (class class class)co 3001   +_o coa 3101   ·_o comu 3102

This theorem is referenced by:  nnmord 3189  nnmcan 3190  mulclpi 3815

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107

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