Theorem nnmsucr 3182

Description: Multiplication with successor. Exercise 16 of [Enderton] p. 82.

Assertion

Ref	Expression
nnmsucr	⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (suc A ·o B) = ((A ·o B) +o B))

Proof of Theorem nnmsucr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (x = ∅ → (suc A ·o x) = (suc A ·o ∅))
2		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (x = ∅ → (A ·o x) = (A ·o ∅))
3		id 9	. . . . . . 7 ⊢ (x = ∅ → x = ∅)
4	2, 3	opreq12d 3014	. . . . . 6 ⊢ (x = ∅ → ((A ·o x) +o x) = ((A ·o ∅) +o ∅))
5	1, 4	cleq12d 1115	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → ((suc A ·o x) = ((A ·o x) +o x) ↔ (suc A ·o ∅) = ((A ·o ∅) +o ∅)))
6	5	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ (x = ∅ → ((A ∈ ω → (suc A ·o x) = ((A ·o x) +o x)) ↔ (A ∈ ω → (suc A ·o ∅) = ((A ·o ∅) +o ∅))))
7		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (suc A ·o x) = (suc A ·o y))
8		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → (A ·o x) = (A ·o y))
9		id 9	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → x = y)
10	8, 9	opreq12d 3014	. . . . . 6 ⊢ (x = y → ((A ·o x) +o x) = ((A ·o y) +o y))
11	7, 10	cleq12d 1115	. . . . 5 ⊢ (x = y → ((suc A ·o x) = ((A ·o x) +o x) ↔ (suc A ·o y) = ((A ·o y) +o y)))
12	11	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ (x = y → ((A ∈ ω → (suc A ·o x) = ((A ·o x) +o x)) ↔ (A ∈ ω → (suc A ·o y) = ((A ·o y) +o y))))
13		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (x = suc y → (suc A ·o x) = (suc A ·o suc y))
14		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (x = suc y → (A ·o x) = (A ·o suc y))
15		id 9	. . . . . . 7 ⊢ (x = suc y → x = suc y)
16	14, 15	opreq12d 3014	. . . . . 6 ⊢ (x = suc y → ((A ·o x) +o x) = ((A ·o suc y) +o suc y))
17	13, 16	cleq12d 1115	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → ((suc A ·o x) = ((A ·o x) +o x) ↔ (suc A ·o suc y) = ((A ·o suc y) +o suc y)))
18	17	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ (x = suc y → ((A ∈ ω → (suc A ·o x) = ((A ·o x) +o x)) ↔ (A ∈ ω → (suc A ·o suc y) = ((A ·o suc y) +o suc y))))
19		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (x = B → (suc A ·o x) = (suc A ·o B))
20		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (x = B → (A ·o x) = (A ·o B))
21		id 9	. . . . . . 7 ⊢ (x = B → x = B)
22	20, 21	opreq12d 3014	. . . . . 6 ⊢ (x = B → ((A ·o x) +o x) = ((A ·o B) +o B))
23	19, 22	cleq12d 1115	. . . . 5 ⊢ (x = B → ((suc A ·o x) = ((A ·o x) +o x) ↔ (suc A ·o B) = ((A ·o B) +o B)))
24	23	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ (x = B → ((A ∈ ω → (suc A ·o x) = ((A ·o x) +o x)) ↔ (A ∈ ω → (suc A ·o B) = ((A ·o B) +o B))))
25		peano2b 2388	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ω ↔ suc A ∈ ω)
26		nnm0 3167	. . . . . 6 ⊢ (suc A ∈ ω → (suc A ·o ∅) = ∅)
27	25, 26	sylbi 174	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ω → (suc A ·o ∅) = ∅)
28		nnm0 3167	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ω → (A ·o ∅) = ∅)
29	28	opreq1d 3012	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ω → ((A ·o ∅) +o ∅) = (∅ +o ∅))
30		peano1 2390	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ω
31		nna0 3166	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ ω → (∅ +o ∅) = ∅)
32	30, 31	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ (∅ +o ∅) = ∅
33	29, 32	syl6eq 1140	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ω → ((A ·o ∅) +o ∅) = ∅)
34	27, 33	eqtr4d 1131	. . . 4 ⊢ (A ∈ ω → (suc A ·o ∅) = ((A ·o ∅) +o ∅))
35		nnmsuc 3169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((suc A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (suc A ·o suc y) = ((suc A ·o y) +o suc A))
36	35, 25	sylanb 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (suc A ·o suc y) = ((suc A ·o y) +o suc A))
37		nnmsuc 3169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (A ·o suc y) = ((A ·o y) +o A))
38	37	opreq1d 3012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((A ·o suc y) +o suc y) = (((A ·o y) +o A) +o suc y))
39		nnacom 3175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (A +o y) = (y +o A))
40		suceq 2288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A +o y) = (y +o A) → suc (A +o y) = suc (y +o A))
41	39, 40	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → suc (A +o y) = suc (y +o A))
42		nnasuc 3168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (A +o suc y) = suc (A +o y))
43		nnasuc 3168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ ω ∧ A ∈ ω) → (y +o suc A) = suc (y +o A))
44	43	ancoms 334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (y +o suc A) = suc (y +o A))
45	41, 42, 44	3eqtr4d 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (A +o suc y) = (y +o suc A))
46	45	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((A ·o y) +o (A +o suc y)) = ((A ·o y) +o (y +o suc A)))
47		nnaass 3179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((A ·o y) ∈ ω ∧ A ∈ ω ∧ suc y ∈ ω) → (((A ·o y) +o A) +o suc y) = ((A ·o y) +o (A +o suc y)))
48		peano2b 2388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ ω ↔ suc y ∈ ω)
49	47, 48	syl3an3b 624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((A ·o y) ∈ ω ∧ A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (((A ·o y) +o A) +o suc y) = ((A ·o y) +o (A +o suc y)))
50		nnmcl 3173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (A ·o y) ∈ ω)
51	49, 50	syl3an1 619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) ∧ A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (((A ·o y) +o A) +o suc y) = ((A ·o y) +o (A +o suc y)))
52	51	3expb 613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) ∧ (A ∈ ω ∧ y ∈ ω)) → (((A ·o y) +o A) +o suc y) = ((A ·o y) +o (A +o suc y)))
53	52	anidms 332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (((A ·o y) +o A) +o suc y) = ((A ·o y) +o (A +o suc y)))
54		nnaass 3179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((A ·o y) ∈ ω ∧ y ∈ ω ∧ suc A ∈ ω) → (((A ·o y) +o y) +o suc A) = ((A ·o y) +o (y +o suc A)))
55	54, 25	syl3an3b 624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((A ·o y) ∈ ω ∧ y ∈ ω ∧ A ∈ ω) → (((A ·o y) +o y) +o suc A) = ((A ·o y) +o (y +o suc A)))
56	55, 50	syl3an1 619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) ∧ y ∈ ω ∧ A ∈ ω) → (((A ·o y) +o y) +o suc A) = ((A ·o y) +o (y +o suc A)))
57	56	3expb 613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) ∧ (y ∈ ω ∧ A ∈ ω)) → (((A ·o y) +o y) +o suc A) = ((A ·o y) +o (y +o suc A)))
58	57	an42s 391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) ∧ (A ∈ ω ∧ y ∈ ω)) → (((A ·o y) +o y) +o suc A) = ((A ·o y) +o (y +o suc A)))
59	58	anidms 332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (((A ·o y) +o y) +o suc A) = ((A ·o y) +o (y +o suc A)))
60	46, 53, 59	3eqtr4d 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (((A ·o y) +o A) +o suc y) = (((A ·o y) +o y) +o suc A))
61	38, 60	eqtrd 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((A ·o suc y) +o suc y) = (((A ·o y) +o y) +o suc A))
62	36, 61	cleq12d 1115	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((suc A ·o suc y) = ((A ·o suc y) +o suc y) ↔ ((suc A ·o y) +o suc A) = (((A ·o y) +o y) +o suc A)))
63		opreq1 3006	. . . . . . . 8 ⊢ ((suc A ·o y) = ((A ·o y) +o y) → ((suc A ·o y) +o suc A) = (((A ·o y) +o y) +o suc A))
64	62, 63	syl5bir 184	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((suc A ·o y) = ((A ·o y) +o y) → (suc A ·o suc y) = ((A ·o suc y) +o suc y)))
65	64	ancoms 334	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ ω ∧ A ∈ ω) → ((suc A ·o y) = ((A ·o y) +o y) → (suc A ·o suc y) = ((A ·o suc y) +o suc y)))
66	65	exp 291	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ω → (A ∈ ω → ((suc A ·o y) = ((A ·o y) +o y) → (suc A ·o suc y) = ((A ·o suc y) +o suc y))))
67	66	a2d 15	. . . 4 ⊢ (y ∈ ω → ((A ∈ ω → (suc A ·o y) = ((A ·o y) +o y)) → (A ∈ ω → (suc A ·o suc y) = ((A ·o suc y) +o suc y))))
68	6, 12, 18, 24, 34, 67	finds 2397	. . 3 ⊢ (B ∈ ω → (A ∈ ω → (suc A ·o B) = ((A ·o B) +o B)))
69	68	imp 277	. 2 ⊢ ((B ∈ ω ∧ A ∈ ω) → (suc A ·o B) = ((A ·o B) +o B))
70	69	ancoms 334	1 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (suc A ·o B) = ((A ·o B) +o B))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∅c0 1707  suc csuc 2201  ωcom 2372  (class class class)co 3001   +_o coa 3101   ·_o comu 3102

This theorem is referenced by:  nnmcom 3183

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107

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