Theorem nnmulclt 4437

Description: Closure of multiplication of natural numbers.

Assertion

Ref	Expression
nnmulclt	⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (A · B) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (x = 1 → (A · x) = (A · 1))
2	1	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (x = 1 → ((A · x) ∈ ℕ ↔ (A · 1) ∈ ℕ))
3	2	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ (x = 1 → ((A ∈ ℕ → (A · x) ∈ ℕ) ↔ (A ∈ ℕ → (A · 1) ∈ ℕ)))
4		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (A · x) = (A · y))
5	4	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (x = y → ((A · x) ∈ ℕ ↔ (A · y) ∈ ℕ))
6	5	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ (x = y → ((A ∈ ℕ → (A · x) ∈ ℕ) ↔ (A ∈ ℕ → (A · y) ∈ ℕ)))
7		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (x = (y + 1) → (A · x) = (A · (y + 1)))
8	7	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (x = (y + 1) → ((A · x) ∈ ℕ ↔ (A · (y + 1)) ∈ ℕ))
9	8	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ (x = (y + 1) → ((A ∈ ℕ → (A · x) ∈ ℕ) ↔ (A ∈ ℕ → (A · (y + 1)) ∈ ℕ)))
10		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (x = B → (A · x) = (A · B))
11	10	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (x = B → ((A · x) ∈ ℕ ↔ (A · B) ∈ ℕ))
12	11	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ (x = B → ((A ∈ ℕ → (A · x) ∈ ℕ) ↔ (A ∈ ℕ → (A · B) ∈ ℕ)))
13		nncnt 4428	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℕ → A ∈ ℂ)
14		ax1id 4077	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℂ → (A · 1) = A)
15	14	eleq1d 1155	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℂ → ((A · 1) ∈ ℕ ↔ A ∈ ℕ))
16	15	biimprd 136	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (A ∈ ℕ → (A · 1) ∈ ℕ))
17	13, 16	mpcom 49	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℕ → (A · 1) ∈ ℕ)
18		1cn 4101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
19		axdistr 4074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (A · (y + 1)) = ((A · y) + (A · 1)))
20	18, 19	mp3an3 641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → (A · (y + 1)) = ((A · y) + (A · 1)))
21	14	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ ℂ → ((A · y) + (A · 1)) = ((A · y) + A))
22	21	adantr 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → ((A · y) + (A · 1)) = ((A · y) + A))
23	20, 22	eqtrd 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → (A · (y + 1)) = ((A · y) + A))
24		nncnt 4428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℂ)
25	23, 13, 24	syl2an 349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → (A · (y + 1)) = ((A · y) + A))
26	25	eleq1d 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → ((A · (y + 1)) ∈ ℕ ↔ ((A · y) + A) ∈ ℕ))
27		nnaddclt 4436	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A · y) ∈ ℕ ∧ A ∈ ℕ) → ((A · y) + A) ∈ ℕ)
28	27	ancoms 334	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ (A · y) ∈ ℕ) → ((A · y) + A) ∈ ℕ)
29	26, 28	syl5bir 184	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → ((A ∈ ℕ ∧ (A · y) ∈ ℕ) → (A · (y + 1)) ∈ ℕ))
30	29	exp4b 296	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℕ → (y ∈ ℕ → (A ∈ ℕ → ((A · y) ∈ ℕ → (A · (y + 1)) ∈ ℕ))))
31	30	pm2.43b 61	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℕ → (A ∈ ℕ → ((A · y) ∈ ℕ → (A · (y + 1)) ∈ ℕ)))
32	31	a2d 15	. . . 4 ⊢ (y ∈ ℕ → ((A ∈ ℕ → (A · y) ∈ ℕ) → (A ∈ ℕ → (A · (y + 1)) ∈ ℕ)))
33	3, 6, 9, 12, 17, 32	nnind 4434	. . 3 ⊢ (B ∈ ℕ → (A ∈ ℕ → (A · B) ∈ ℕ))
34	33	imp 277	. 2 ⊢ ((B ∈ ℕ ∧ A ∈ ℕ) → (A · B) ∈ ℕ)
35	34	ancoms 334	1 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ B ∈ ℕ) → (A · B) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032  ℕcn 4093

This theorem is referenced by:  nn0mulcl 4553  qaddclt 4642  qmulclt 4644  nnexpclt 4691  nnsqcl 4717  nnesq 4720  facclt 4874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-n 4423

metamath.org