Theorem nnreclt 4522

Description: There exists a natural number whose reciprocal is less than a given positive real. Exercise 3 of [Apostol] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
nnreclt	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → ∃x ∈ ℕ (1 / x) < A)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem nnreclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivclt 4276	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) ∧ A ≠ 0) → (1 / A) ∈ ℝ)
2		pm3.26 256	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → A ∈ ℝ)
3		ax1re 4064	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	jctil 240	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → (1 ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ))
5		gt0ne0t 4346	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℝ → (0 < A → A ≠ 0))
6	5	imp 277	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → A ≠ 0)
7	1, 4, 6	sylanc 361	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → (1 / A) ∈ ℝ)
8		arch 4521	. . 3 ⊢ ((1 / A) ∈ ℝ → ∃x ∈ ℕ (1 / A) < x)
9	7, 8	syl 12	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → ∃x ∈ ℕ (1 / A) < x)
10		ltrect 4417	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / A) ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → ((0 < (1 / A) ∧ 0 < x) → ((1 / A) < x ↔ (1 / x) < (1 / (1 / A)))))
11	10	imp 277	. . . . . 6 ⊢ ((((1 / A) ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) ∧ (0 < (1 / A) ∧ 0 < x)) → ((1 / A) < x ↔ (1 / x) < (1 / (1 / A))))
12	11	an4s 390	. . . . 5 ⊢ ((((1 / A) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / A)) ∧ (x ∈ ℝ ∧ 0 < x)) → ((1 / A) < x ↔ (1 / x) < (1 / (1 / A))))
13		recgt0t 4401	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → (0 < A → 0 < (1 / A)))
14	13	imp 277	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → 0 < (1 / A))
15	7, 14	jca 236	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → ((1 / A) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / A)))
16		nnret 4427	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℕ → x ∈ ℝ)
17		nngt0t 4441	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℕ → 0 < x)
18	16, 17	jca 236	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℕ → (x ∈ ℝ ∧ 0 < x))
19	12, 15, 18	syl2an 349	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ x ∈ ℕ) → ((1 / A) < x ↔ (1 / x) < (1 / (1 / A))))
20		recrect 4260	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A ≠ 0) → (1 / (1 / A)) = A)
21		recnt 4097	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → A ∈ ℂ)
22	21	adantr 306	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → A ∈ ℂ)
23	20, 22, 6	sylanc 361	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → (1 / (1 / A)) = A)
24	23	breq2d 2072	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → ((1 / x) < (1 / (1 / A)) ↔ (1 / x) < A))
25	24	adantr 306	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ x ∈ ℕ) → ((1 / x) < (1 / (1 / A)) ↔ (1 / x) < A))
26	19, 25	bitrd 406	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ∧ x ∈ ℕ) → ((1 / A) < x ↔ (1 / x) < A))
27	26	birexdva 1216	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → (∃x ∈ ℕ (1 / A) < x ↔ ∃x ∈ ℕ (1 / x) < A))
28	9, 27	mpbid 170	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → ∃x ∈ ℕ (1 / x) < A)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∃wrex 1202   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   < clt 4033   / cdiv 4091  ℕcn 4093

This theorem is referenced by:  qbtwnre 4650

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423

metamath.org