Theorem nnsub 4450

Description: Subtraction of natural numbers.

Hypotheses

Ref	Expression
nnsub.1	⊢ A ∈ ℕ
nnsub.2	⊢ B ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
nnsub	⊢ (A < B ↔ (B − A) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsub.2	. . 3 ⊢ B ∈ ℕ
2		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ (x = 1 → (A < x ↔ A < 1))
3		opreq1 3006	. . . . . 6 ⊢ (x = 1 → (x − A) = (1 − A))
4	3	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (x = 1 → ((x − A) ∈ ℕ ↔ (1 − A) ∈ ℕ))
5	2, 4	imbi12d 474	. . . 4 ⊢ (x = 1 → ((A < x → (x − A) ∈ ℕ) ↔ (A < 1 → (1 − A) ∈ ℕ)))
6		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ (x = y → (A < x ↔ A < y))
7		opreq1 3006	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (x − A) = (y − A))
8	7	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (x = y → ((x − A) ∈ ℕ ↔ (y − A) ∈ ℕ))
9	6, 8	imbi12d 474	. . . 4 ⊢ (x = y → ((A < x → (x − A) ∈ ℕ) ↔ (A < y → (y − A) ∈ ℕ)))
10		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ (x = (y + 1) → (A < x ↔ A < (y + 1)))
11		opreq1 3006	. . . . . 6 ⊢ (x = (y + 1) → (x − A) = ((y + 1) − A))
12	11	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (x = (y + 1) → ((x − A) ∈ ℕ ↔ ((y + 1) − A) ∈ ℕ))
13	10, 12	imbi12d 474	. . . 4 ⊢ (x = (y + 1) → ((A < x → (x − A) ∈ ℕ) ↔ (A < (y + 1) → ((y + 1) − A) ∈ ℕ)))
14		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ (x = B → (A < x ↔ A < B))
15		opreq1 3006	. . . . . 6 ⊢ (x = B → (x − A) = (B − A))
16	15	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (x = B → ((x − A) ∈ ℕ ↔ (B − A) ∈ ℕ))
17	14, 16	imbi12d 474	. . . 4 ⊢ (x = B → ((A < x → (x − A) ∈ ℕ) ↔ (A < B → (B − A) ∈ ℕ)))
18		nnsub.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ ℕ
19		nnge1t 4439	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℕ → 1 ≤ A)
20	18, 19	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ A
21		ax1re 4064	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
22	18	nnre 4429	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ ℝ
23	21, 22	lelt 4301	. . . . . 6 ⊢ (1 ≤ A ↔ ¬ A < 1)
24	20, 23	mpbi 164	. . . . 5 ⊢ ¬ A < 1
25	24	pm2.21i 73	. . . 4 ⊢ (A < 1 → (1 − A) ∈ ℕ)
26		nnret 4427	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℝ)
27	26, 22	jctil 240	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℕ → (A ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ))
28		leloet 4284	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (A ≤ y ↔ (A < y ∨ A = y)))
29	27, 28	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℕ → (A ≤ y ↔ (A < y ∨ A = y)))
30		nnleltp1t 4448	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → (A ≤ y ↔ A < (y + 1)))
31	18, 30	mpan 518	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℕ → (A ≤ y ↔ A < (y + 1)))
32	29, 31	bitr3d 408	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℕ → ((A < y ∨ A = y) ↔ A < (y + 1)))
33		nncnt 4428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℂ)
34	18	nncn 4430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ A ∈ ℂ
35	33, 34	jctir 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℕ → (y ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ))
36		1cn 4101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		addsubt 4151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → ((y + 1) − A) = ((y − A) + 1))
38	36, 37	mp3an2 640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → ((y + 1) − A) = ((y − A) + 1))
39	35, 38	syl 12	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ ℕ → ((y + 1) − A) = ((y − A) + 1))
40	39	eleq1d 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ ℕ → (((y + 1) − A) ∈ ℕ ↔ ((y − A) + 1) ∈ ℕ))
41		peano2nn 4433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y − A) ∈ ℕ → ((y − A) + 1) ∈ ℕ)
42	40, 41	syl5bir 184	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ ℕ → ((y − A) ∈ ℕ → ((y + 1) − A) ∈ ℕ))
43	42	syl3d 26	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℕ → ((A < y → (y − A) ∈ ℕ) → (A < y → ((y + 1) − A) ∈ ℕ)))
44	43	com23 32	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℕ → (A < y → ((A < y → (y − A) ∈ ℕ) → ((y + 1) − A) ∈ ℕ)))
45	34, 36, 34	addsub 4153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A + 1) − A) = ((A − A) + 1)
46	34	subid 4155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A − A) = 0
47	46	opreq1i 3009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A − A) + 1) = (0 + 1)
48	36	addid2 4113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
49	45, 47, 48	3eqtr 1123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A + 1) − A) = 1
50		1nn 4432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
51	49, 50	eqeltr 1159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A + 1) − A) ∈ ℕ
52		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A = y → (A + 1) = (y + 1))
53	52	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A = y → ((A + 1) − A) = ((y + 1) − A))
54	53	eleq1d 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A = y → (((A + 1) − A) ∈ ℕ ↔ ((y + 1) − A) ∈ ℕ))
55	51, 54	mpbii 168	. . . . . . . . 9 ⊢ (A = y → ((y + 1) − A) ∈ ℕ)
56	55	a1d 14	. . . . . . . 8 ⊢ (A = y → ((A < y → (y − A) ∈ ℕ) → ((y + 1) − A) ∈ ℕ))
57	56	a1i 7	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℕ → (A = y → ((A < y → (y − A) ∈ ℕ) → ((y + 1) − A) ∈ ℕ)))
58	44, 57	jaod 329	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℕ → ((A < y ∨ A = y) → ((A < y → (y − A) ∈ ℕ) → ((y + 1) − A) ∈ ℕ)))
59	32, 58	sylbird 180	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℕ → (A < (y + 1) → ((A < y → (y − A) ∈ ℕ) → ((y + 1) − A) ∈ ℕ)))
60	59	com23 32	. . . 4 ⊢ (y ∈ ℕ → ((A < y → (y − A) ∈ ℕ) → (A < (y + 1) → ((y + 1) − A) ∈ ℕ)))
61	5, 9, 13, 17, 25, 60	nnind 4434	. . 3 ⊢ (B ∈ ℕ → (A < B → (B − A) ∈ ℕ))
62	1, 61	ax-mp 6	. 2 ⊢ (A < B → (B − A) ∈ ℕ)
63		nngt0t 4441	. . 3 ⊢ ((B − A) ∈ ℕ → 0 < (B − A))
64	1	nnre 4429	. . . 4 ⊢ B ∈ ℝ
65	22, 64	posdif 4328	. . 3 ⊢ (A < B ↔ 0 < (B − A))
66	63, 65	sylibr 175	. 2 ⊢ ((B − A) ∈ ℕ → A < B)
67	62, 66	impbi 139	1 ⊢ (A < B ↔ (B − A) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   − cmin 4089   ≤ cle 4092  ℕcn 4093

This theorem is referenced by:  nnsubt 4451

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423

metamath.org