Theorem nnunb 4520

Description: The set of natural numbers is unbounded above. Theorem I.28 of [Apostol] p. 26.

Assertion

Ref	Expression
nnunb	⊢ ¬ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ ℕ (y < x ∨ y = x)

Distinct variable group(s):   x,y

Proof of Theorem nnunb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 496	. . . . . 6 ⊢ ¬ (∀y ∈ ℕ ¬ x < y ∧ ¬ ∀y ∈ ℕ ¬ x < y)
2		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x − 1) ∈ V
3		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y = (x − 1) → (y ∈ ℝ ↔ (x − 1) ∈ ℝ))
4		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y = (x − 1) → (y < x ↔ (x − 1) < x))
5		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (y = (x − 1) → (y < z ↔ (x − 1) < z))
6	5	birexdv 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y = (x − 1) → (∃z ∈ ℕ y < z ↔ ∃z ∈ ℕ (x − 1) < z))
7	4, 6	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y = (x − 1) → ((y < x → ∃z ∈ ℕ y < z) ↔ ((x − 1) < x → ∃z ∈ ℕ (x − 1) < z)))
8	3, 7	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = (x − 1) → ((y ∈ ℝ → (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z)) ↔ ((x − 1) ∈ ℝ → ((x − 1) < x → ∃z ∈ ℕ (x − 1) < z))))
9	2, 8	cla4v 1400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀y(y ∈ ℝ → (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z)) → ((x − 1) ∈ ℝ → ((x − 1) < x → ∃z ∈ ℕ (x − 1) < z)))
10		ltplus1t 4383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ ℝ → x < (x + 1))
11		ax1re 4064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		ltsubaddt 4353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → ((x − 1) < x ↔ x < (x + 1)))
13	11, 12	mp3an2 640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → ((x − 1) < x ↔ x < (x + 1)))
14	13	anidms 332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ ℝ → ((x − 1) < x ↔ x < (x + 1)))
15	10, 14	mpbird 171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ℝ → (x − 1) < x)
16	9, 15	syl7 24	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀y(y ∈ ℝ → (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z)) → ((x − 1) ∈ ℝ → (x ∈ ℝ → ∃z ∈ ℕ (x − 1) < z)))
17		resubclt 4173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (x − 1) ∈ ℝ)
18	11, 17	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ ℝ → (x − 1) ∈ ℝ)
19	16, 18	syl5 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀y(y ∈ ℝ → (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z)) → (x ∈ ℝ → (x ∈ ℝ → ∃z ∈ ℕ (x − 1) < z)))
20	19	pm2.43d 59	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀y(y ∈ ℝ → (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z)) → (x ∈ ℝ → ∃z ∈ ℕ (x − 1) < z))
21		df-rex 1206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃z ∈ ℕ (x − 1) < z ↔ ∃z(z ∈ ℕ ∧ (x − 1) < z))
22	20, 21	syl6ib 185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀y(y ∈ ℝ → (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z)) → (x ∈ ℝ → ∃z(z ∈ ℕ ∧ (x − 1) < z)))
23	22	com12 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ℝ → (∀y(y ∈ ℝ → (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z)) → ∃z(z ∈ ℕ ∧ (x − 1) < z)))
24		ltsubaddt 4353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → ((x − 1) < z ↔ x < (z + 1)))
25	11, 24	mp3an2 640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → ((x − 1) < z ↔ x < (z + 1)))
26		nnret 4427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z ∈ ℕ → z ∈ ℝ)
27	25, 26	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ z ∈ ℕ) → ((x − 1) < z ↔ x < (z + 1)))
28	27	exp 291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ ℝ → (z ∈ ℕ → ((x − 1) < z ↔ x < (z + 1))))
29	28	pm5.32d 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ ℝ → ((z ∈ ℕ ∧ (x − 1) < z) ↔ (z ∈ ℕ ∧ x < (z + 1))))
30	29	biexdv 936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ ℝ → (∃z(z ∈ ℕ ∧ (x − 1) < z) ↔ ∃z(z ∈ ℕ ∧ x < (z + 1))))
31		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z + 1) ∈ V
32		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = (z + 1) → (y ∈ ℕ ↔ (z + 1) ∈ ℕ))
33		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = (z + 1) → (x < y ↔ x < (z + 1)))
34	32, 33	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y = (z + 1) → ((y ∈ ℕ ∧ x < y) ↔ ((z + 1) ∈ ℕ ∧ x < (z + 1))))
35	31, 34	cla4ev 1401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z + 1) ∈ ℕ ∧ x < (z + 1)) → ∃y(y ∈ ℕ ∧ x < y))
36		peano2nn 4433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z ∈ ℕ → (z + 1) ∈ ℕ)
37	35, 36	sylan 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ ℕ ∧ x < (z + 1)) → ∃y(y ∈ ℕ ∧ x < y))
38	37	19.23aiv 952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃z(z ∈ ℕ ∧ x < (z + 1)) → ∃y(y ∈ ℕ ∧ x < y))
39	30, 38	syl6bi 187	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ℝ → (∃z(z ∈ ℕ ∧ (x − 1) < z) → ∃y(y ∈ ℕ ∧ x < y)))
40	23, 39	syld 27	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℝ → (∀y(y ∈ ℝ → (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z)) → ∃y(y ∈ ℕ ∧ x < y)))
41		df-ral 1205	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z) ↔ ∀y(y ∈ ℝ → (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z)))
42		df-ral 1205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀y ∈ ℕ ¬ x < y ↔ ∀y(y ∈ ℕ → ¬ x < y))
43		alinexa 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀y(y ∈ ℕ → ¬ x < y) ↔ ¬ ∃y(y ∈ ℕ ∧ x < y))
44	42, 43	bitr2 152	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∃y(y ∈ ℕ ∧ x < y) ↔ ∀y ∈ ℕ ¬ x < y)
45	44	bicon1i 193	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀y ∈ ℕ ¬ x < y ↔ ∃y(y ∈ ℕ ∧ x < y))
46	40, 41, 45	3imtr4g 426	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℝ → (∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z) → ¬ ∀y ∈ ℕ ¬ x < y))
47	46	anim2d 433	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℝ → ((∀y ∈ ℕ ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z)) → (∀y ∈ ℕ ¬ x < y ∧ ¬ ∀y ∈ ℕ ¬ x < y)))
48	1, 47	mtoi 94	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℝ → ¬ (∀y ∈ ℕ ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z)))
49		imnan 207	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℝ → ¬ (∀y ∈ ℕ ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z))) ↔ ¬ (x ∈ ℝ ∧ (∀y ∈ ℕ ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z))))
50	48, 49	mpbi 164	. . . 4 ⊢ ¬ (x ∈ ℝ ∧ (∀y ∈ ℕ ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z)))
51	50	nex 779	. . 3 ⊢ ¬ ∃x(x ∈ ℝ ∧ (∀y ∈ ℕ ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z)))
52		df-rex 1206	. . 3 ⊢ (∃x ∈ ℝ (∀y ∈ ℕ ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z)) ↔ ∃x(x ∈ ℝ ∧ (∀y ∈ ℕ ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z))))
53	51, 52	mtbir 167	. 2 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ ℕ ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z))
54		1nn 4432	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
55		n0i 1712	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ → ¬ ℕ = ∅)
56	54, 55	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ ¬ ℕ = ∅
57		df-ne 1192	. . . 4 ⊢ (ℕ ≠ ∅ ↔ ¬ ℕ = ∅)
58	56, 57	mpbir 165	. . 3 ⊢ ℕ ≠ ∅
59		nnssre 4425	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
60		sup2 4510	. . . 4 ⊢ ((ℕ ⊆ ℝ ∧ ℕ ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ ℕ (y < x ∨ y = x)) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ ℕ ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z)))
61	59, 60	mp3an1 639	. . 3 ⊢ ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ ℕ (y < x ∨ y = x)) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ ℕ ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z)))
62	58, 61	mpan 518	. 2 ⊢ (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ ℕ (y < x ∨ y = x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ ℕ ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ ℕ y < z)))
63	53, 62	mto 93	1 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ ℕ (y < x ∨ y = x)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   − cmin 4089  ℕcn 4093

This theorem is referenced by:  arch 4521

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-n 4423

metamath.org