Theorem nnwoOLD 4608

Description: Well-ordering principle: any non-empty set of natural numbers has a least element. Theorem I.37 (well-ordering principle) of [Apostol] p. 34.

Assertion

Ref	Expression
nnwoOLD	⊢ ((A ⊆ ℕ ∧ A ≠ ∅) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem nnwoOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (v = 1 → (v ≤ y ↔ 1 ≤ y))
2	1	biraldv 1219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v = 1 → (∀y ∈ A v ≤ y ↔ ∀y ∈ A 1 ≤ y))
3	2	imbi2d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v = 1 → (((A ⊆ ℕ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A v ≤ y) ↔ ((A ⊆ ℕ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A 1 ≤ y)))
4		breq1 2065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (v = z → (v ≤ y ↔ z ≤ y))
5	4	biraldv 1219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v = z → (∀y ∈ A v ≤ y ↔ ∀y ∈ A z ≤ y))
6	5	imbi2d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v = z → (((A ⊆ ℕ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A v ≤ y) ↔ ((A ⊆ ℕ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A z ≤ y)))
7		breq1 2065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (v = (z + 1) → (v ≤ y ↔ (z + 1) ≤ y))
8	7	biraldv 1219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v = (z + 1) → (∀y ∈ A v ≤ y ↔ ∀y ∈ A (z + 1) ≤ y))
9	8	imbi2d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v = (z + 1) → (((A ⊆ ℕ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A v ≤ y) ↔ ((A ⊆ ℕ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A (z + 1) ≤ y)))
10		breq1 2065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (v = w → (v ≤ y ↔ w ≤ y))
11	10	biraldv 1219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v = w → (∀y ∈ A v ≤ y ↔ ∀y ∈ A w ≤ y))
12	11	imbi2d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v = w → (((A ⊆ ℕ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A v ≤ y) ↔ ((A ⊆ ℕ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A w ≤ y)))
13		ssel 1502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ⊆ ℕ → (y ∈ A → y ∈ ℕ))
14		nnge1t 4439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ℕ → 1 ≤ y)
15	13, 14	syl6 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ⊆ ℕ → (y ∈ A → 1 ≤ y))
16	15	r19.21aiv 1259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ⊆ ℕ → ∀y ∈ A 1 ≤ y)
17	16	adantr 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ⊆ ℕ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A 1 ≤ y)
18		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (x = z → (x ≤ y ↔ z ≤ y))
19	18	biraldv 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (x = z → (∀y ∈ A x ≤ y ↔ ∀y ∈ A z ≤ y))
20	19	rcla4ev 1403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((z ∈ A ∧ ∀y ∈ A z ≤ y) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)
21	20	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (z ∈ A → (∀y ∈ A z ≤ y → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y))
22	21	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀y ∈ A z ≤ y → (z ∈ A → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y))
23	22	con3d 87	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀y ∈ A z ≤ y → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → ¬ z ∈ A))
24	23	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → (∀y ∈ A z ≤ y → ¬ z ∈ A))
25		letri3t 4283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((z ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (z = y ↔ (z ≤ y ∧ y ≤ z)))
26		nnret 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (z ∈ ℕ → z ∈ ℝ)
27		nnret 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((z ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → (z = y ↔ (z ≤ y ∧ y ≤ z)))
29		nnleltp1t 4448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((y ∈ ℕ ∧ z ∈ ℕ) → (y ≤ z ↔ y < (z + 1)))
30	29	ancoms 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((z ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → (y ≤ z ↔ y < (z + 1)))
31		leltt 4278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((z + 1) ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → ((z + 1) ≤ y ↔ ¬ y < (z + 1)))
32		ax1re 4064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 1 ∈ ℝ
33		axaddrcl 4067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((z ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (z + 1) ∈ ℝ)
34	32, 33	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (z ∈ ℝ → (z + 1) ∈ ℝ)
35	31, 34	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((z ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → ((z + 1) ≤ y ↔ ¬ y < (z + 1)))
36	35	bicon2d 404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((z ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (y < (z + 1) ↔ ¬ (z + 1) ≤ y))
37	36, 26, 27	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((z ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → (y < (z + 1) ↔ ¬ (z + 1) ≤ y))
38	30, 37	bitrd 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((z ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → (y ≤ z ↔ ¬ (z + 1) ≤ y))
39	38	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((z ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → ((z ≤ y ∧ y ≤ z) ↔ (z ≤ y ∧ ¬ (z + 1) ≤ y)))
40	28, 39	bitrd 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((z ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → (z = y ↔ (z ≤ y ∧ ¬ (z + 1) ≤ y)))
41		ssel2 1503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((A ⊆ ℕ ∧ y ∈ A) → y ∈ ℕ)
42	40, 41	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((z ∈ ℕ ∧ (A ⊆ ℕ ∧ y ∈ A)) → (z = y ↔ (z ≤ y ∧ ¬ (z + 1) ≤ y)))
43		eleq1a 1158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (y ∈ A → (z = y → z ∈ A))
44	43	ad2antrr 323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((z ∈ ℕ ∧ (A ⊆ ℕ ∧ y ∈ A)) → (z = y → z ∈ A))
45	42, 44	sylbird 180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((z ∈ ℕ ∧ (A ⊆ ℕ ∧ y ∈ A)) → ((z ≤ y ∧ ¬ (z + 1) ≤ y) → z ∈ A))
46	45	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((z ∈ ℕ ∧ (A ⊆ ℕ ∧ y ∈ A)) → (z ≤ y → (¬ (z + 1) ≤ y → z ∈ A)))
47		con1 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((¬ (z + 1) ≤ y → z ∈ A) → (¬ z ∈ A → (z + 1) ≤ y))
48	46, 47	syl6 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((z ∈ ℕ ∧ (A ⊆ ℕ ∧ y ∈ A)) → (z ≤ y → (¬ z ∈ A → (z + 1) ≤ y)))
49	48	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((z ∈ ℕ ∧ (A ⊆ ℕ ∧ y ∈ A)) → (¬ z ∈ A → (z ≤ y → (z + 1) ≤ y)))
50	49	exp32 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (z ∈ ℕ → (A ⊆ ℕ → (y ∈ A → (¬ z ∈ A → (z ≤ y → (z + 1) ≤ y)))))
51	50	com34 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (z ∈ ℕ → (A ⊆ ℕ → (¬ z ∈ A → (y ∈ A → (z ≤ y → (z + 1) ≤ y)))))
52	51	imp41 286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((z ∈ ℕ ∧ A ⊆ ℕ) ∧ ¬ z ∈ A) ∧ y ∈ A) → (z ≤ y → (z + 1) ≤ y))
53	52	r19.20dva 1256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((z ∈ ℕ ∧ A ⊆ ℕ) ∧ ¬ z ∈ A) → (∀y ∈ A z ≤ y → ∀y ∈ A (z + 1) ≤ y))
54	53	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z ∈ ℕ ∧ A ⊆ ℕ) → (¬ z ∈ A → (∀y ∈ A z ≤ y → ∀y ∈ A (z + 1) ≤ y)))
55	24, 54	sylan9r 360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((z ∈ ℕ ∧ A ⊆ ℕ) ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → (∀y ∈ A z ≤ y → (∀y ∈ A z ≤ y → ∀y ∈ A (z + 1) ≤ y)))
56	55	pm2.43d 59	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((z ∈ ℕ ∧ A ⊆ ℕ) ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → (∀y ∈ A z ≤ y → ∀y ∈ A (z + 1) ≤ y))
57	56	exp31 293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z ∈ ℕ → (A ⊆ ℕ → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → (∀y ∈ A z ≤ y → ∀y ∈ A (z + 1) ≤ y))))
58	57	imp3a 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z ∈ ℕ → ((A ⊆ ℕ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → (∀y ∈ A z ≤ y → ∀y ∈ A (z + 1) ≤ y)))
59	58	a2d 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ∈ ℕ → (((A ⊆ ℕ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A z ≤ y) → ((A ⊆ ℕ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A (z + 1) ≤ y)))
60	3, 6, 9, 12, 17, 59	nnind 4434	. . . . . . . . 9 ⊢ (w ∈ ℕ → ((A ⊆ ℕ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A w ≤ y))
61		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x = w → (x ≤ y ↔ w ≤ y))
62	61	biraldv 1219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = w → (∀y ∈ A x ≤ y ↔ ∀y ∈ A w ≤ y))
63	62	rcla4ev 1403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((w ∈ A ∧ ∀y ∈ A w ≤ y) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)
64	63	exp 291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w ∈ A → (∀y ∈ A w ≤ y → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y))
65	64	com12 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀y ∈ A w ≤ y → (w ∈ A → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y))
66	65	con3d 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀y ∈ A w ≤ y → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → ¬ w ∈ A))
67	66	com12 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → (∀y ∈ A w ≤ y → ¬ w ∈ A))
68	67	adantl 305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ⊆ ℕ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → (∀y ∈ A w ≤ y → ¬ w ∈ A))
69	60, 68	sylcom 51	. . . . . . . 8 ⊢ (w ∈ ℕ → ((A ⊆ ℕ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ¬ w ∈ A))
70		ssel 1502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ⊆ ℕ → (w ∈ A → w ∈ ℕ))
71	70	con3d 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ⊆ ℕ → (¬ w ∈ ℕ → ¬ w ∈ A))
72	71	com12 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ w ∈ ℕ → (A ⊆ ℕ → ¬ w ∈ A))
73	72	adantrd 308	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ w ∈ ℕ → ((A ⊆ ℕ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ¬ w ∈ A))
74	69, 73	pm2.61i 110	. . . . . . 7 ⊢ ((A ⊆ ℕ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ¬ w ∈ A)
75	74	exp 291	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ ℕ → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → ¬ w ∈ A))
76	75	19.21adv 945	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ ℕ → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → ∀w ¬ w ∈ A))
77		eq0 1719	. . . . 5 ⊢ (A = ∅ ↔ ∀w ¬ w ∈ A)
78	76, 77	syl6ibr 186	. . . 4 ⊢ (A ⊆ ℕ → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → A = ∅))
79	78	con1d 85	. . 3 ⊢ (A ⊆ ℕ → (¬ A = ∅ → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y))
80		df-ne 1192	. . 3 ⊢ (A ≠ ∅ ↔ ¬ A = ∅)
81	79, 80	syl5ib 181	. 2 ⊢ (A ⊆ ℕ → (A ≠ ∅ → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y))
82	81	imp 277	1 ⊢ ((A ⊆ ℕ ∧ A ≠ ∅) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   ≤ cle 4092  ℕcn 4093

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423

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