Theorem nnwof 4609

Description: Well-ordering principle: any non-empty set of natural numbers has a least element. This version allows x and y to be present in A as long as they are effectively not free.

Hypotheses

Ref	Expression
nnwof.1	⊢ (z ∈ A → ∀x z ∈ A)
nnwof.2	⊢ (z ∈ A → ∀y z ∈ A)

Assertion

Ref	Expression
nnwof	⊢ ((A ⊆ ℕ ∧ A ≠ ∅) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)

Distinct variable group(s):   x,y,z   z,A

Proof of Theorem nnwof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnwo 4607	. 2 ⊢ ((A ⊆ ℕ ∧ A ≠ ∅) → ∃w ∈ A ∀v ∈ A w ≤ v)
2		ax-17 925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ∈ v → ∀y z ∈ v)
3		nnwof.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ∈ A → ∀y z ∈ A)
4	2, 3	hbel 1172	. . . . . . . . 9 ⊢ (v ∈ A → ∀y v ∈ A)
5		ax-17 925	. . . . . . . . 9 ⊢ (w ≤ v → ∀y w ≤ v)
6	4, 5	hbim 702	. . . . . . . 8 ⊢ ((v ∈ A → w ≤ v) → ∀y(v ∈ A → w ≤ v))
7		ax-17 925	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ A → w ≤ y) → ∀v(y ∈ A → w ≤ y))
8		eleq1 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ (v = y → (v ∈ A ↔ y ∈ A))
9		breq2 2066	. . . . . . . . 9 ⊢ (v = y → (w ≤ v ↔ w ≤ y))
10	8, 9	imbi12d 474	. . . . . . . 8 ⊢ (v = y → ((v ∈ A → w ≤ v) ↔ (y ∈ A → w ≤ y)))
11	6, 7, 10	cbval 848	. . . . . . 7 ⊢ (∀v(v ∈ A → w ≤ v) ↔ ∀y(y ∈ A → w ≤ y))
12	11	anbi2i 367	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ A ∧ ∀v(v ∈ A → w ≤ v)) ↔ (w ∈ A ∧ ∀y(y ∈ A → w ≤ y)))
13	12	biex 733	. . . . 5 ⊢ (∃w(w ∈ A ∧ ∀v(v ∈ A → w ≤ v)) ↔ ∃w(w ∈ A ∧ ∀y(y ∈ A → w ≤ y)))
14		ax-17 925	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ w → ∀x z ∈ w)
15		nnwof.1	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ A → ∀x z ∈ A)
16	14, 15	hbel 1172	. . . . . . 7 ⊢ (w ∈ A → ∀x w ∈ A)
17		ax-17 925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ∈ y → ∀x z ∈ y)
18	17, 15	hbel 1172	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ A → ∀x y ∈ A)
19		ax-17 925	. . . . . . . . 9 ⊢ (w ≤ y → ∀x w ≤ y)
20	18, 19	hbim 702	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ A → w ≤ y) → ∀x(y ∈ A → w ≤ y))
21	20	hbal 700	. . . . . . 7 ⊢ (∀y(y ∈ A → w ≤ y) → ∀x∀y(y ∈ A → w ≤ y))
22	16, 21	hban 704	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ A ∧ ∀y(y ∈ A → w ≤ y)) → ∀x(w ∈ A ∧ ∀y(y ∈ A → w ≤ y)))
23		ax-17 925	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ A ∧ ∀y(y ∈ A → x ≤ y)) → ∀w(x ∈ A ∧ ∀y(y ∈ A → x ≤ y)))
24		eleq1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (w = x → (w ∈ A ↔ x ∈ A))
25		breq1 2065	. . . . . . . . 9 ⊢ (w = x → (w ≤ y ↔ x ≤ y))
26	25	imbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (w = x → ((y ∈ A → w ≤ y) ↔ (y ∈ A → x ≤ y)))
27	26	bialdv 935	. . . . . . 7 ⊢ (w = x → (∀y(y ∈ A → w ≤ y) ↔ ∀y(y ∈ A → x ≤ y)))
28	24, 27	anbi12d 476	. . . . . 6 ⊢ (w = x → ((w ∈ A ∧ ∀y(y ∈ A → w ≤ y)) ↔ (x ∈ A ∧ ∀y(y ∈ A → x ≤ y))))
29	22, 23, 28	cbvex 849	. . . . 5 ⊢ (∃w(w ∈ A ∧ ∀y(y ∈ A → w ≤ y)) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ ∀y(y ∈ A → x ≤ y)))
30	13, 29	bitr 151	. . . 4 ⊢ (∃w(w ∈ A ∧ ∀v(v ∈ A → w ≤ v)) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ ∀y(y ∈ A → x ≤ y)))
31		df-rex 1206	. . . 4 ⊢ (∃w ∈ A ∀v(v ∈ A → w ≤ v) ↔ ∃w(w ∈ A ∧ ∀v(v ∈ A → w ≤ v)))
32		df-rex 1206	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ A ∀y(y ∈ A → x ≤ y) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ ∀y(y ∈ A → x ≤ y)))
33	30, 31, 32	3bitr4 158	. . 3 ⊢ (∃w ∈ A ∀v(v ∈ A → w ≤ v) ↔ ∃x ∈ A ∀y(y ∈ A → x ≤ y))
34		df-ral 1205	. . . 4 ⊢ (∀v ∈ A w ≤ v ↔ ∀v(v ∈ A → w ≤ v))
35	34	birex 1224	. . 3 ⊢ (∃w ∈ A ∀v ∈ A w ≤ v ↔ ∃w ∈ A ∀v(v ∈ A → w ≤ v))
36		df-ral 1205	. . . 4 ⊢ (∀y ∈ A x ≤ y ↔ ∀y(y ∈ A → x ≤ y))
37	36	birex 1224	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y ↔ ∃x ∈ A ∀y(y ∈ A → x ≤ y))
38	33, 35, 37	3bitr4 158	. 2 ⊢ (∃w ∈ A ∀v ∈ A w ≤ v ↔ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)
39	1, 38	sylib 173	1 ⊢ ((A ⊆ ℕ ∧ A ≠ ∅) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707   class class class wbr 2054   ≤ cle 4092  ℕcn 4093

This theorem is referenced by:  nnwos 4610

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org