Theorem noel 1711

Description: The empty set has no elements. Theorem 6.14 of [Quine] p. 44.

Assertion

Ref	Expression
noel	⊢ ¬ A ∈ ∅

Proof of Theorem noel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cleqid 1102	. . . . 5 ⊢ x = x
2		dfnul2 1709	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = {x∣ ¬ x = x}
3	2	cleqabi 1176	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ∅ ↔ ¬ x = x)
4	3	bicon2i 194	. . . . 5 ⊢ (x = x ↔ ¬ x ∈ ∅)
5	1, 4	mpbi 164	. . . 4 ⊢ ¬ x ∈ ∅
6		eleq1 1149	. . . 4 ⊢ (x = A → (x ∈ ∅ ↔ A ∈ ∅))
7	5, 6	mtbii 538	. . 3 ⊢ (x = A → ¬ A ∈ ∅)
8	7	vtocleg 1390	. 2 ⊢ (A ∈ V → ¬ A ∈ ∅)
9		elisset 1354	. . 3 ⊢ (A ∈ ∅ → A ∈ V)
10	9	con3i 90	. 2 ⊢ (¬ A ∈ V → ¬ A ∈ ∅)
11	8, 10	pm2.61i 110	1 ⊢ ¬ A ∈ ∅

Syntax hints:  ¬ wn 1   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ∅c0 1707

This theorem is referenced by:  n0i 1712  n0f 1713  rex0 1717  rab0 1718  un0 1721  in0 1722  0ss 1725  disj 1733  rzal 1773  disjsn 1836  int0 1978  iun0 2028  po0 2137  so0 2153  ord0eln0 2278  nsuceq0 2306  xp0r 2474  0nelxp 2475  dm0 2542  dm0rn0 2549  reldm0 2550  intirr 2628  cnv0 2633  co02 2663  fn0 2739  omordi 3164  omsmolem 3195  rankr1 3518  zornlem7 3609  alephordi 3679  nlt1pi 3827  avril1 4523  om2uzlt 4654

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-nul 1708

metamath.org