Theorem nominpos 4509

Description: There exists no smallest positive real number.

Assertion

Ref	Expression
nominpos	⊢ ¬ ∃x ∈ ℝ (0 < x ∧ ¬ ∃y ∈ ℝ (0 < y ∧ y < x))

Distinct variable group(s):   x,y

Proof of Theorem nominpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 4470	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2pos 4479	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
3	1, 2	gt0ne0i 4345	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
4		redivclt 4276	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ 2 ≠ 0) → (x / 2) ∈ ℝ)
5	3, 4	mpan2 519	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (x / 2) ∈ ℝ)
6	1, 5	mpan2 519	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℝ → (x / 2) ∈ ℝ)
7	6	a1d 14	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℝ → (0 < x → (x / 2) ∈ ℝ))
8		divgt0t 4402	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((0 < x ∧ 0 < 2) → 0 < (x / 2)))
9	1, 8	mpan2 519	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℝ → ((0 < x ∧ 0 < 2) → 0 < (x / 2)))
10	2, 9	mpan2i 522	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℝ → (0 < x → 0 < (x / 2)))
11		halfpost 4508	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℝ → (0 < x ↔ (x / 2) < x))
12	11	biimpd 135	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℝ → (0 < x → (x / 2) < x))
13	10, 12	jcad 455	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℝ → (0 < x → (0 < (x / 2) ∧ (x / 2) < x)))
14	7, 13	jcad 455	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℝ → (0 < x → ((x / 2) ∈ ℝ ∧ (0 < (x / 2) ∧ (x / 2) < x))))
15		breq2 2066	. . . . . 6 ⊢ (y = (x / 2) → (0 < y ↔ 0 < (x / 2)))
16		breq1 2065	. . . . . 6 ⊢ (y = (x / 2) → (y < x ↔ (x / 2) < x))
17	15, 16	anbi12d 476	. . . . 5 ⊢ (y = (x / 2) → ((0 < y ∧ y < x) ↔ (0 < (x / 2) ∧ (x / 2) < x)))
18	17	rcla4ev 1403	. . . 4 ⊢ (((x / 2) ∈ ℝ ∧ (0 < (x / 2) ∧ (x / 2) < x)) → ∃y ∈ ℝ (0 < y ∧ y < x))
19	14, 18	syl6 23	. . 3 ⊢ (x ∈ ℝ → (0 < x → ∃y ∈ ℝ (0 < y ∧ y < x)))
20		iman 205	. . 3 ⊢ ((0 < x → ∃y ∈ ℝ (0 < y ∧ y < x)) ↔ ¬ (0 < x ∧ ¬ ∃y ∈ ℝ (0 < y ∧ y < x)))
21	19, 20	sylib 173	. 2 ⊢ (x ∈ ℝ → ¬ (0 < x ∧ ¬ ∃y ∈ ℝ (0 < y ∧ y < x)))
22	21	nrex 1270	1 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℝ (0 < x ∧ ¬ ∃y ∈ ℝ (0 < y ∧ y < x))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∃wrex 1202   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028   < clt 4033   / cdiv 4091  2c2 4454

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-2 4462

metamath.org